賈浩楠 蕭簫 發(fā)自 凹非寺

量子位 報(bào)道 | 公眾號(hào) QbitAI

今年，可能是最后一屆“純?nèi)祟悺眳①惖腎MO （國(guó)際奧數(shù)競(jìng)賽）。

△參加2020年IMO的中國(guó)代表隊(duì)（李金珉的官方年齡信息有誤）

因?yàn)樵诿髂辏珹I可能也會(huì)加入這場(chǎng)金牌爭(zhēng)奪戰(zhàn)中，成為一名“種子選手”。

這名潛入IMO賽事的AI名為L(zhǎng)ean，由微軟的研究人員開發(fā)。

目前，他們正計(jì)劃讓Lean參與明年的國(guó)際奧數(shù)競(jìng)賽。

也就是說，它將與世界各國(guó)的奧賽選手一起爭(zhēng)奪IMO金牌。

準(zhǔn)備在IMO上一展身手的Lean

其實(shí)，微軟研究人員讓AI參加IMO的理由，原因是它是個(gè)很好的實(shí)驗(yàn)工具（工具人）。

微軟研究員Selsam是挑戰(zhàn)賽IMO Grand Challenge的創(chuàng)始人之一，他表示，這項(xiàng)比賽的目的是訓(xùn)練一個(gè)人工智能系統(tǒng)，以便在世界頂級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中贏得金牌。

因?yàn)檫@里不僅有數(shù)學(xué)上“最簡(jiǎn)單”的難題（連高等數(shù)學(xué)都用不上，但就是做不出來），而且還匯集了來自世界各地的頂尖高手。

如果AI能像人一樣證明這些數(shù)學(xué)定理，某種程度上也能說明，讓它“像人一樣思考”不會(huì)太過困難。

基于這個(gè)想法，微軟的研究人員從2013年開始研發(fā)Lean，希望讓AI能擁有自主判斷、根據(jù)假設(shè)進(jìn)行演繹的能力。

也就是說，它是個(gè)旨在縮小交互式定理證明、與自動(dòng)定理證明之間的差距的開源項(xiàng)目。

自動(dòng)定理證明：對(duì)數(shù)學(xué)中提出的定理或猜想，尋找一種證明或反證的方法。系統(tǒng)不僅能根據(jù)假設(shè)進(jìn)行演繹，還要有一定的判定技巧。

交互式定理證明：借助計(jì)算機(jī)輔助證明工具，理解檢驗(yàn)數(shù)學(xué)定理正確性，完成數(shù)學(xué)定理的證明。

Lean已經(jīng)推出了3個(gè)版本，現(xiàn)在的第四個(gè)版本Lean 4還在完善中，現(xiàn)在的邏輯系統(tǒng)基于依賴類型理論，已經(jīng)強(qiáng)大到足以證明所有的常規(guī)數(shù)學(xué)定理。

也就是說，想要讓它自己證明IMO中提出來的、此前“沒見過的”數(shù)學(xué)問題，依舊非常困難。

目前，Lean 4還沒有徹底做好準(zhǔn)備，作者Leonardo de Moura表示，如果讓它參加今年的IMO，“可能只能得0分”。

因?yàn)椋琇ean目前甚至無法理解某些數(shù)學(xué)問題需要涉及哪些概念，而這些概念本身又是“什么意思”。

證明的“第一步”，就難住了算法

對(duì)于不少人來說，數(shù)學(xué)十分抽象、難以學(xué)好。

事實(shí)上，AI和你的感覺一樣。

一般的工程應(yīng)用問題中，AI得心應(yīng)手，因?yàn)樵陬A(yù)訓(xùn)練階段，算法模型已經(jīng)對(duì)一類問題有所了解。

也就是說，AI現(xiàn)階段能干的活仍然有限，通常要給定條件和數(shù)據(jù)，經(jīng)過持續(xù)的“刷題”，才能做“更復(fù)雜的計(jì)算”。

這是一個(gè)從“1”到“2”、“3”，甚至是無窮的過程。

但數(shù)學(xué)問題的證明本質(zhì)并不一樣，證明一個(gè)公理，或是一個(gè)復(fù)雜的等式，需要完全“白手起家”。

證明的第一步：提出一個(gè)合理證明路徑。這個(gè)從0到1的關(guān)鍵，目前只有人類的大腦能勝任。

絕大部分AI，很難給出證明思路的第一步。

拿一個(gè)最簡(jiǎn)單最古老的數(shù)學(xué)公理來說，公元前300年，歐幾里得就證明了質(zhì)數(shù)有無限多個(gè)。

而要證明這一結(jié)論，關(guān)鍵是要認(rèn)識(shí)到，總是可以通過乘所有已知的質(zhì)數(shù)并加1來找到一個(gè)新的質(zhì)數(shù)。有了這個(gè)思路，接下來的證明就很簡(jiǎn)單了。

但“想到這個(gè)思路”這一行為本身，對(duì)于AI來說，難度巨大。

說回IMO，正式比賽中的3道題目，盡管不涉及微積分等高等數(shù)學(xué)，但無一不是要求選手利用中學(xué)的所有數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行巧妙的構(gòu)思給出解題方法。

比如這道2005年IMO真題：

當(dāng)時(shí)不同國(guó)家的參賽選手至少給出了3種不同的證明，其中被廣泛認(rèn)可討論的解法，采用柯西不等式簡(jiǎn)化的思路，篇幅大概需要半頁A4紙。

而另一位來自摩爾多瓦的選手，極富創(chuàng)造性的用兩行式子完成了證明：

上面一行是“因?yàn)椤保旅嬉恍芯褪恰八浴保浜?jiǎn)潔、精準(zhǔn)甚至可以說“粗暴有效”震驚全場(chǎng)。

精巧的思路也獲得了當(dāng)年的IMO特別獎(jiǎng)。

要說明的是，IMO特別獎(jiǎng)不看總成績(jī)，只頒給解題方法獨(dú)到的選手。

這種石破天驚的“第一步”，對(duì)于現(xiàn)在的AI來說，幾乎是不可能做到的。

這也許就是為什么微軟的研究人員設(shè)定的目標(biāo)是“沖擊金獎(jiǎng)”吧。

巧的玩不轉(zhuǎn)，Lean采取什么方法跟人類大腦競(jìng)爭(zhēng)呢？

Lean如何學(xué)數(shù)學(xué)？

Lean和所有AI算法一樣，需要“喂數(shù)據(jù)”進(jìn)行訓(xùn)練。

目前的Lean，不但無法設(shè)計(jì)出完整的IMO題目證明過程，它甚至無法理解其中一些問題所涉及的概念。

所以，Lean的首要任務(wù)是學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識(shí)。

訓(xùn)練數(shù)據(jù)來自Mathlib的庫(kù)。Mathlib是一個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫(kù)，它幾乎包含了大學(xué)二年級(jí)以下所有數(shù)學(xué)知識(shí)。

但Mathlib在中學(xué)數(shù)學(xué)上仍有一些差距，團(tuán)隊(duì)正在對(duì)Mathlib數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行補(bǔ)全。

掌握知識(shí)只是第一步，如何靈活運(yùn)用才是關(guān)鍵。

團(tuán)隊(duì)采取的方法與象棋、圍棋AI等相同——遵循決策樹，直到算法找到最優(yōu)解。

許多IMO題目的關(guān)鍵是尋找某種證明的模式。深入數(shù)學(xué)證明的底層，是一系列非常具體的、有邏輯的步驟。

研究人員嘗試通過IMO題目證明的全部細(xì)節(jié)來訓(xùn)練Lean。

但在這種方法也有局限，每個(gè)特定的題目證明對(duì)于算法來說太“專”，下一個(gè)不同類型題目仍然不會(huì)解。

為了解決這個(gè)問題，團(tuán)隊(duì)需要數(shù)學(xué)家寫出之前IMO題目的詳細(xì)形式化證明。然后，團(tuán)隊(duì)提煉證明中的采用的不同策略。

接下來，Lean的任務(wù)，就是在這些策略中尋找一個(gè) “勝利 “的組合。

這項(xiàng)任務(wù)實(shí)際上比描述起來困難的多，團(tuán)隊(duì)這樣比喻它：

在圍棋中，目標(biāo)是找到最好的一步棋。而在數(shù)學(xué)中，目標(biāo)是找到最好的一盤棋，然后在這盤棋中找到最好的一步棋。

團(tuán)隊(duì)說，也許到了明年，獲得金牌仍然是很困難的，但至少，Lean有機(jī)會(huì)參賽了。

對(duì)此，有網(wǎng)友感嘆AI這些年神速的進(jìn)展：先是國(guó)際象棋、又是圍棋……現(xiàn)在，AI又要來攻占國(guó)際奧賽金牌了。

但也有網(wǎng)友持悲觀態(tài)度，認(rèn)為AI現(xiàn)階段只能在某些方面趨近人類的水平。目前AI的算法，都是建立在人類認(rèn)知基礎(chǔ)上的……所以像（證明數(shù)學(xué)定理）這樣特殊的任務(wù)，我持消極態(tài)度，畢竟世界上只有少部分人能提供幫助。

“什么是數(shù)學(xué)思想？”

這個(gè)問題出乎意料的難以解釋透徹。數(shù)學(xué)家在嘗試解決新問題時(shí)，大腦的活動(dòng)是難以描述的，更不要說落實(shí)在算法上。

盡管已經(jīng)有AI團(tuán)隊(duì)朝數(shù)學(xué)思想的深層邁出了一步，但是從他們采取的策略來看，仍然是學(xué)習(xí)過往思路，選擇成功率最高的“排列組合”。

這樣的AI算法，要在創(chuàng)造力和突破性上超越人類，“火候”還差得遠(yuǎn)。

而隔壁的GPT，也在數(shù)學(xué)證明方向上取得了初步成果。

最近，OpenAI推出了用于數(shù)學(xué)問題的GPT-f，利用基于Transformer語言模型的生成能力進(jìn)行自動(dòng)定理證明。

由GPT-f發(fā)現(xiàn)的23個(gè)簡(jiǎn)短證明已被Metamath主庫(kù)接收，這也是首次AI的數(shù)學(xué)證明獲得業(yè)內(nèi)認(rèn)可。

GPT真的是要砸所有人的飯碗，連數(shù)學(xué)家都不放過。

那么，Lean和GPT-f，你更看好哪一個(gè)呢？

項(xiàng)目鏈接：

https://leanprover.github.io/

在線可玩：

https://leanprover.github.io/live/master/

參考鏈接：

https://leodemoura.github.io/

https://www.quantamagazine.org/how-close-are-computers-to-automating-mathematical-reasoning-20200827/

https://www.quantamagazine.org/at-the-international-mathematical-olympiad-artificial-intelligence-prepares-to-go-for-the-gold-20200921

— 完 —

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原標(biāo)題：《微軟AI要參加IMO競(jìng)賽！小目標(biāo)：數(shù)學(xué)金牌》

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