數學家筆下的世界地圖該有幾種顏色？

2020-04-04 10:47

來源：澎湃新聞·澎湃號·湃客

作者 | Helen

編輯 | 羅數君

文 2161字閱讀時間約 5分鐘

導語

幾年前，風靡全球的減壓神器《秘密花園》引領了全民涂色風潮。人們在涂涂畫畫的過程中放松身心、發現生活之美。其實，數學家們也有自己的涂色小游戲，甚至在19世紀就已經開始了，而他們筆下描繪的，則是世界各地的地圖哦！

這幾天美國的疫情越來越嚴重了，被迫賦閑在家的這幾天，百無聊賴，開始研究各種涂色書解悶。還記得當年火遍全球的《秘密花園》填色本嗎？在每一頁中，你都會發現一些若隱若現的花朵、葉子、爬蟲、蝴蝶、小鳥。你可以用彩筆盡情地涂畫空白空間，完成五彩斑斕的畫面。

四色定理之初

其實早在1852年，數學家們就有他們的涂色游戲了。

那年，21歲的法蘭西斯·古德里 (Francis Guthrie) 完成了他的數學學士學位。古德里在繪制英格蘭分郡地圖時，發現許多地圖都只需用四種顏色染色，就能保證有相鄰邊界的區域顏色不同。他將這個發現告訴他的弟弟弗雷德里克·古德里。弗雷德里克這時正在倫敦大學學院讀數學，師從法蘭西斯讀書時的老師奧古斯塔斯·德摩根，德摩根對這個猜想很感興趣，曾寫信給許多名數學家，試圖推動這個問題的進展。也正是他，引起了大家對于“四色定理”的廣泛關注。

Francis Guthrie

南非數學家、植物學家，

他于1852年首次提出了四色問題。

愛因斯坦的老師宣布證明失敗

這個問題乍一看是挺簡單，可能手機屏幕前的你也已經有一些證明的靈感。當時好多數學家也是這么認為的。其中最具有戲劇性的，大概就是閔可夫斯基 (Hermann Minkowski) 了。一次拓撲課上，閔可夫斯基向學生們宣稱：“這個定理沒有被證明的最主要的原因是至今只有一些三流的數學家在這上面花過時間。下面我就來證明它……”于是他拿起粉筆。這節課結束的時候，閔可夫斯基并沒有證完，到下一次課的時候，他仍在繼續證明。

幾個星期過去了……一個陰霾的早上，閔可夫斯基走進教室，那時候，恰好一道閃電劃過長空，雷聲震耳，他很嚴肅地說：“上天被我的驕傲激怒了，我的證明是不完整的。”

Hermann Minkowski

德國數學家，猶太人

曾經是著名物理學家愛因斯坦的老師。

大家都把問題想得太簡單了。

讓人信以為真的錯誤證明

當然，仍然有數學家做出了嘗試。其中最著名的錯誤證明就是肯普 (Alfred Kempe) 的數學歸納法證明了。雖然這個方法是錯誤的，我還是簡單給大家介紹一下。

數學歸納法的原理也很簡單：我們首先證明一些非常淺顯的例子，然后假設這個命題成立，再通過這個假設，證明一些更復雜的情況也成立。就像多米諾骨牌，第一張倒了，后面都相互聯系，每一張都會倒下去。

我們舉一個簡單的例子。

比如說我們要證明 1 + 2 + … n = n(n+1)/2。

首先，我們找到一個歸納奠基，當 n=1 的時候，1 = 1(1+1)/2 = 1。

然后歸納假設 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 成立。

我們想證明n+1的時候也成立。

也就是說 1 + 2 + … + n = (n+1)(n+1+1)/2 = (n+1)(n+2)/2。

最后歸納遞推 1 + 2 + … + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n(n+1) + 2(n+1))/2 = (n+1)(n+2)/2

肯普的證明其實并不是很簡單，我在這里講一講大概的思路。

他的證明先討論了一些很簡單的情況。比如一個國家只有少于4個鄰國，那我們一定可以用四種顏色來涂，保證任意兩個鄰國，不會使用同樣的顏色。憑直覺想，我們當然希望每個國家的鄰國越少越好，這樣我們就能少用幾種顏色。但實際上，在一個平面的地圖中，我們很難讓每個國家的鄰國為任意數量。而我們寫過的“歐拉公式”就保證了這一點。接下來，肯普構造了“肯普鏈”。想象一個國家的所有鄰國像項鏈一樣穿在一起，那我們最多用三種顏色就可以涂整個“肯普鏈”。肯普的整個證明把這些想法都聰明地整合在了一起，提供了一個“騙”過了好多人的證明。當然肯普的想法還是很有用的，之后大家用這個思路證明了很多相關的定理。

他還是太天真了。顯然事情并沒有這么簡單。

Alfred Kempe

人類首次利用計算機完成數學理論證明

1890年，珀西·希伍德 (Percy John Heawood) 在肯普的證明中找到了致命的錯誤，并且給出了一個反例。而肯普最終也沒能夠修復他的證明。一直到20世紀六七十年代，計算機運算速度飛速提升，很多人開始試著用計算機來解決一些當時懸而未決的數學難題。

美國數學家阿佩爾 (Kenneth Appel) 和德國數學家哈肯 (Wolfgang Haken) 對肯普證明的第一步改造就是不再考慮單一國家的情況，而是考慮由相鄰的一些國家共同組成的構型，用到了放電法這種更為精細、可以同時照顧到連續數個區域的鄰國數的技巧來對原先的分類進行進一步細化，也使這個證明的難度大大提升，但最后他們還是成功列出了能夠排列組合涵蓋任何地圖的一共1936種構型，并于1976年在計算機的幫助之下完成了四色定理的證明。