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作者：曹培信

大家對指數增長應該都有所耳聞，但是單憑的人們的直覺，又很難意識到這究竟發生了什么。

上圖就是一個典型的指數增長，體現的是COVID-2019中國確診病例數每天的變化。那么為什么傳染病的傳染會是典型的指數增長呢？指數增長的本質又是什么？

YouTube上有著231萬訂閱的數據可視化神級專欄“3Blue1Brown”最近發布了一個視頻，通過對COVID-2019中國確診病例數據的可視化，為大家講解了指數增長在這次疫情傳播中的體現，從中，我們既能看到指數增長的本質，還能知道，指數增長是怎么結束的。

視頻鏈接：

https://www.youtube.com/watch?v=Kas0tIxDvrg

什么是指數增長？

指數增長通常意味著數據隨著時間的變化，后一個數據等于前一個數據乘以一個系數。體現在這次疫情的數據中，便是后一天的確診病例數是前一天的1.15-1.25倍。

病毒的傳播就是一個典型指數增長的例子，假設某天的病例數是N(d)，平均每天接觸的人為E，每個暴露者被感染的概率為p，那么每天新增的病例數量為N(d)*E*p，也就是說，N(d+1)=(1+E*p)*N(d)。這個(1+E*p)就是那個1.15-1.25的常數。

如果把Y軸以對數為刻度，那么結果會更加直觀，在這種情況下，增長情況就可以擬合成一條直線，這條直線的斜率告訴我們，病例數大概每16天翻十倍。

那么這是一個什么概念呢？舉個例子，某一天我們看到韓國有6000+病例，而美國有60例，直觀上我們會認為韓國的疫情比美國要嚴重100倍，但事實上，美國只是比韓國晚了一個月。

指數增長會永無止境嗎？

如果單從理論上來說，指數增長似乎會一直持續下去，但是對傳染病而言，卻不會如此，它肯定會在某個時間變慢，關鍵是這個時刻會在什么時候來臨。

是像2003年的SARS一樣，到了8000多就停止了，還是像1918年的西班牙大流感一樣，會感染全部人口的27%？

這個問題顯然不能單純的用畫線來解決。

從N(d)=(1+E*p)*N(d-1)這個公式來看，我們可以得出：

這么看來，讓N(d)變小的方法方法，就是減小E和p，而這是必然會發生的，首先，因為即使人們不采取任何措施，人群中剩下的未被感染的人數也在逐漸變少，那么N(d)的增長會不可避免的趨向于0，直到所有人都被感染。

考慮到這個情況，新的曲線就會是這么個情況——一條對數曲線。剛開始的時候與指數曲線相差不大，隨著時間的推移，曲線的切線斜率會逐漸變小，直到趨于0，而曲線斜率開始變小時，就是我們所說的拐點。

人類如何阻止“指數增長”？

大眾一直比較關注的“增長因子”，即當天新增病例數與前一天的比值。那么如果第五天的“增長因子”為1.15，那么第五天增長的人數則是4059，而當“增長因子”為1時，這個數字為3530，看起來區別不大，但卻標示著拐點已經悄然來臨。

實際上，人們也不是平均分布在世界上，而是生活在社區中，但是如果在社區之間加入一定的人口流動，情況仍然很糟糕，這就是為什么我們需要隔離。

所幸的是，人類并不一定只能等待大部分人都被感染，我們可以通過減少出行，勤洗手等措施減少E和p，并且千萬不要小瞧這些措施的影響，因為指數增長對常數極其敏感。假設這個常數是1.15，那么61天之后，總的感染人數會達到1億，而將常數減少到1.05，那么61天后被感染的人數只有40萬。

所以我們現在采取的每一個措施——隔離、戴口罩、勤洗手，都在盡全力減少這個常數，正如作者所說，“如果所有人都在擔心，那反而沒有什么可擔心的；而如果所有人都不擔心，那才是需要擔心的。”

致力于用可視化讓問題變得簡單的3blue1brown

3blue1brown的作者名叫Grant Sanderson，他介紹自己的這個專欄為“數學與娛樂的結合”，目標是用動畫來驅動解釋，通過新的視角來讓困難的問題變得簡單。

顯然，擁有230萬訂閱者的3blue1brown不可能光靠Grant Sanderson一個人來打理了，從每個動畫的最后我們也可以看到，有專業的可視化和動畫團隊在支持這個工作。

從2015年3月注冊以來，3blue1brown就致力于用各種豐富的可視化內容來向大眾普及冰冷的科學知識，內容也是包羅萬象，從數學、物理到計算機，一些專題甚至出了連載。

Grant Sanderson2015年畢業于斯坦福大學，學的專業就是數學，但是他也坦言，在斯坦福學習數學的道路上，他一直受計算機這個“情人”的誘惑，雖然最終還是堅持學完了數學，但還是對犧牲了“情人”計算機痛惜不已。

原標題：《指數增長、拐點，斯坦福學霸自制動畫，用最簡單的方式解釋疫情常見詞》

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