作者|吳昊&編輯|羅數(shù)君

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導(dǎo)語(yǔ)：

小時(shí)候每晚都會(huì)陪家人一起看新聞聯(lián)播后的天氣預(yù)報(bào)，邊看邊好奇能測(cè)算出天氣的人是有超能力嗎？長(zhǎng)大后才明白原來(lái)天氣預(yù)測(cè)與數(shù)學(xué)的概率知識(shí)竟如此的緊密相關(guān)，今天我們就一起嘗試用概率來(lái)解釋天氣預(yù)報(bào)吧！

夏天，對(duì)于大部分地區(qū)意味著下雨，而對(duì)于每天還要出門的上班族和學(xué)生族來(lái)說(shuō)，天氣預(yù)報(bào)就像女生的防曬霜一樣，是臨行的必備。匹茲堡的夏天，時(shí)而陰云密布，時(shí)而晴空萬(wàn)里，每日外出前，我定是要看看天氣預(yù)報(bào)才敢安心出門。

今天出門前，為了決定要不要帶傘，我打開天氣預(yù)報(bào)，在最顯眼位置上的“降水概率0%”讓我頓時(shí)心情舒暢，幾天的陰雨連綿終于告一段落。 我放心地扔下手中的傘，但誰(shuí)能料想到，我剛推門而出，就被突如其來(lái)的一場(chǎng)陣雨淋了個(gè)落湯雞。

不是說(shuō)今天降水概率為零嗎？正思索著，另一個(gè)問(wèn)題忽然出現(xiàn)在我的腦海：如果沒人能預(yù)測(cè)未來(lái)，那天氣預(yù)報(bào)是如何知道一個(gè)小時(shí)后的降水概率呢？

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美國(guó)氣象局的官網(wǎng)寫到，降水概率（Probability of Precipitation，簡(jiǎn)稱 PoP）有兩種解釋方式，一種是用以往相似氣象數(shù)據(jù)的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得出的降水頻率，另一種，便是我們?cè)谔鞖忸A(yù)報(bào)里看到的，根據(jù)各種氣象數(shù)據(jù)直接對(duì)未來(lái)進(jìn)行推測(cè)出的降水概率。

在定義PoP之前，我們先回顧一下什么是條件概率（Conditional Probability ）。條件概率是指事件A在事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的概率，記作P(A|B)。假如面前有一顆標(biāo)準(zhǔn)的六面骰子，我擲了兩次，看到兩次正面朝上的數(shù)字之和是10（事件 A），那么其中一次數(shù)字是5（事件 B）的概率是多少？這時(shí)，已給定的條件是“兩次數(shù)字和為10”，那么在該條件發(fā)生的情況下某次數(shù)字是5的概率，便可簡(jiǎn)稱為給定 A，B 的條件概率，寫作 P(B|A)。

當(dāng) A 是 B 的必要條件時(shí)，即只有在 A 發(fā)生的前提下 B 才能發(fā)生，那么 P(B)=P(A)xP(B|A)。意思是說(shuō)，B 發(fā)生的概率等于 A 發(fā)生的概率乘以給定 A，B 的條件概率。

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PoP的定義很簡(jiǎn)單，就是某點(diǎn)有可觀測(cè)降水（比如大于0.01英寸）的概率P（該點(diǎn)有可觀測(cè)降水）。這個(gè)值很難直接測(cè)量，于是我們利用剛才所講的條件概率的知識(shí)，把它展開成兩個(gè)概率相乘：某地區(qū)有降水的概率P（該地區(qū)有降水）乘以給定這一地區(qū)有降水，那么地區(qū)內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)有可觀測(cè)降水的概率P（該點(diǎn)有可觀測(cè)降水|該地區(qū)有降水），兩個(gè)概率分別以 C 和 A 表示，整體寫成 PoP=CxA。只有當(dāng)該地區(qū)有降水時(shí)，該點(diǎn)才可能有可觀測(cè)降水，所以前者確實(shí)是后者的必要條件。

細(xì)心的讀者可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)公式使用了一個(gè)重要的假設(shè)，就是某個(gè)地區(qū)內(nèi)，每個(gè)點(diǎn)有可觀測(cè)降水的概率相等。這么假設(shè)，是為了簡(jiǎn)化計(jì)算。只要地區(qū)劃分得夠小，這個(gè)假設(shè)得出的結(jié)果和真實(shí)值就不會(huì)差太多。

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和降水概率息息相關(guān)的一個(gè)值就是降水量，也就是降水的期望值（Expected Value）。在超市抽獎(jiǎng)時(shí)，獎(jiǎng)金的期望值可以寫成：獲得一等獎(jiǎng)的概率乘以一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金，再加上獲得二等獎(jiǎng)的概率乘以二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金，再加上三等獎(jiǎng)所對(duì)應(yīng)的乘積。降水的期望值也是一樣的：把每個(gè)可能降水量的概率乘以這個(gè)降水量本身，再整體求和，得到的值就稱為降水的期望值。

網(wǎng)上曾流傳一個(gè)笑話：降水概率70%就是指10個(gè)氣象學(xué)家坐在一起投票，其中有7個(gè)人覺得會(huì)有降水。真實(shí)的降水概率當(dāng)然比笑話里的投票靠譜得多，但不可忽視的是，它終究也只是一個(gè)估計(jì)而已。0%的降水概率不代表百分百不會(huì)下雨，100%的降水概率也不能證明一定會(huì)下雨。時(shí)刻帶把傘，才是最萬(wàn)無(wú)一失的方法。

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（原載于“羅博深數(shù)學(xué)”公眾號(hào)：LuoboshenMath）