原創(chuàng) AMS Notices zzllrr小樂

海曼·巴斯 （Hyman Bass，1932 -）

海曼·巴斯（Hyman Bass）教授，是一位在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出開創(chuàng)性貢獻(xiàn)（代數(shù)K理論的奠基人，研究交換同調(diào)代數(shù)和投射模，他也是樹上的群作用理論的共同創(chuàng)始人），并在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域發(fā)揮重要領(lǐng)導(dǎo)作用的杰出數(shù)學(xué)家（擔(dān)任AMS美國數(shù)學(xué)會(huì)主席和國際數(shù)學(xué)教學(xué)委員會(huì)主席），他的工作極大地豐富了我們對代數(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的理解。

他是美國國家科學(xué)院、美國藝術(shù)與科學(xué)院、世界科學(xué)院的院士。曾獲得科爾代數(shù)獎(jiǎng)、美國國家科學(xué)獎(jiǎng)?wù)隆１疚氖荓isa Carbone和Yvonne Lai對其采訪內(nèi)容，內(nèi)容較長，分為上下篇。

作者：Lisa Carbone（羅格斯大學(xué)數(shù)學(xué)教授）

Yvonne Lai（內(nèi)布拉斯加大學(xué)林肯分校數(shù)學(xué)教授）

2025-2-13

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-6-23

- 接上篇 -

4 1970年代至80年代：與布爾巴基一起寫作

圖8： 從左到右依次為 Michel Raynaud、Hyman Bass 和 Armand Borel，科西嘉島，1970年代

采訪者：您曾以尼古拉斯·布爾巴基（Nicholas Bourbaki）的筆名參與出版數(shù)學(xué)教科書的團(tuán)隊(duì)。您是如何與布爾巴基合作的？您在團(tuán)隊(duì)中擔(dān)任什么角色？

巴斯：我知道布爾巴基的存在，而且塞爾（Serre）、艾倫伯格（Eilenberg）和格羅滕迪克（Grothendieck）等人都曾是該協(xié)會(huì)的成員。 但其中大多數(shù)是法國人。 所以當(dāng)我被邀請時(shí)，我感到非常震驚。

我與塞爾的聯(lián)系可能與那次邀請有很大關(guān)系。我的數(shù)學(xué)視野遠(yuǎn)不及布爾巴基學(xué)院的許多人，盡管我的興趣廣泛。也許他們需要一些代數(shù)方面的人才，尤其是那些了解非交換代數(shù)的人，而我在這方面有所投入和實(shí)力。這在法國數(shù)學(xué)界并非傳統(tǒng)。

我想是讓-路易·維爾迪爾（Jean-Louis Verdier）傳達(dá)了邀請。他是我的密友兼同事。我最終在1970年至1982年間成為了其中的一員。

布爾巴基的關(guān)注點(diǎn)并非新數(shù)學(xué)，而是以一種全面而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞剑逦啙嵉仃U述當(dāng)代數(shù)學(xué)。這種數(shù)學(xué)寫作必須在浩瀚的領(lǐng)域中保持一致性，而這導(dǎo)致了一些從闡釋角度來看較為繁瑣的地方。

在典型的寫作中，你會(huì)將你的主題領(lǐng)域定位到特定領(lǐng)域，并且可以采用一些無需與其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域慣例一致的慣例。但布爾巴基試圖一致地討論整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。因此，許多交叉引用的內(nèi)容必須彼此一致，而特定領(lǐng)域的寫作則不需要這樣做。

無論人們對布爾巴基的風(fēng)格有何好惡，這些著作的作者都是數(shù)學(xué)家，他們在自己的職業(yè)生涯中都是才華橫溢的闡釋者。例如，塞爾是一位優(yōu)美的作家，讀起來非常悅耳，但他也用布爾巴基風(fēng)格寫作，符合布爾巴基風(fēng)格。用布爾巴基風(fēng)格寫作是另一種類型的項(xiàng)目。它與其說是教學(xué)法，不如說是以邏輯順序、一致性和嚴(yán)謹(jǐn)性為主導(dǎo)特征。它的簡潔性源于一種嚴(yán)肅、極簡主義的優(yōu)雅。在某些情況下，例如《李理論》，我認(rèn)為布爾巴基的闡述既新穎又優(yōu)美。

就我對數(shù)學(xué)證明的強(qiáng)烈忠誠而言，我想我的寫作風(fēng)格，盡管有時(shí)很粗心，但還是符合這種風(fēng)格。

布爾巴基的一個(gè)有趣之處是它的工作文化。當(dāng)時(shí)，它是一個(gè)規(guī)模不一的小團(tuán)隊(duì)，最多只有十幾個(gè)人。他們著眼于整個(gè)數(shù)學(xué)體系的宏大架構(gòu)。早期的書籍主要討論基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，例如集合論、代數(shù)和拓?fù)洹Ｖ蟮恼鹿?jié)則探討高階結(jié)構(gòu)，例如泛函分析、流形和李群，其中不同的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)相互交織并被綜合。有很多章節(jié)需要編寫，或者可能需要修改和更新，它們都融入到這個(gè)宏大的架構(gòu)中。

那么，這種寫作是如何完成的呢？這項(xiàng)工作的性質(zhì)很大程度上是社交性的。有一章需要撰寫。它可能是新的，也可能是修訂版。小組成員集體對這一章的主題、總體內(nèi)容以及重點(diǎn)有一些想法。然后，會(huì)指派某個(gè)人 ——某個(gè)小組成員——負(fù)責(zé)撰寫該章的草稿。

他們的資金不多，全部來自這些書籍的出版，全部用來支持這項(xiàng)工作。但至少工作條件、氛圍等等，雖然不算奢華，但卻非常舒適宜人。

圖9： 海曼于1978年訪問加州大學(xué)伯克利分校

那時(shí)，他們每年大約三次聚會(huì)“congrès”。他們?nèi)チ艘粋€(gè)偏僻的地方——非常漂亮，但很安靜，而且絕對不怎么公開。在場的其他人根本不知道這群古怪的人是誰，也不知道他們在做什么。這些偏僻的地方包括普羅旺斯、科西嘉島和科莫湖，我們住在舒適的旅館里，吃得非常豐盛。為了去科西嘉島，我們從巴黎乘坐南下的快速列車，在車上享用了一頓豐盛的晚餐。

小組氣氛活躍卻又輕松。每個(gè)人都穿著非常隨意，或許穿著短褲之類的。我們圍坐在一起，有人逐行朗讀當(dāng)前章節(jié)的草稿。當(dāng)讀者需要補(bǔ)充意見時(shí)，朗讀會(huì)在不同階段進(jìn)行。草稿被反復(fù)審閱。大家提出了各種各樣的批評(píng)和建議——大多是他們不喜歡的地方。

當(dāng)然，作者也在場，并參與了這些有時(shí)很粗暴的反饋。唯一的補(bǔ)償是——所有需要修改的地方、需要如何改進(jìn)的地方都會(huì)被詳細(xì)記錄下來——草稿作者不必重寫。下一稿則分配給了其他人。某個(gè)章節(jié)可能歷經(jīng)無數(shù)次的修改輪回，最終并非消亡，而是被束之高閣（封存于“文學(xué)冰柜”au frigidaire之中）。換句話說，它可能會(huì)被長期保存，甚至可能是永遠(yuǎn)。

這是一個(gè)非常系統(tǒng)且非常嚴(yán)格的過程。當(dāng)然，它是匿名的。其他科學(xué)家想知道所有這些高水平的智力努力和時(shí)間，在沒有個(gè)人認(rèn)可或補(bǔ)償?shù)那闆r下，是如何發(fā)揮作用的。參見：1996年企鵝出版集團(tuán)出版的卡爾·杰拉西《布爾巴基的妙計(jì)》（The Bourbaki Gambit, by Carl Djerassi, 1996, Penguin Publishing Group）。

一個(gè)經(jīng)常被公開討論的問題是“為什么布爾巴基沒有范疇論？”嗯，如果不徹底修改布爾巴基的集合論基礎(chǔ)，很難找到一種方法來做到這一點(diǎn)。德利涅（Deligne）寫了一個(gè)關(guān)于范疇論的非常漂亮的草稿，這些想法被束之高閣（au frigidaire）。有趣的是，雖然布爾巴基沒有定義函子，但他允許自己在某些章節(jié)標(biāo)題中使用“函子性質(zhì)”（proprieties fonctorielles）這一表達(dá)（盡管不是在正文中）。

在“congrès”大會(huì)的討論中，一些人物脫穎而出。Jean Dieudonné、Pierre Cartier和Michel Demazure都具有相當(dāng)鮮明的個(gè)人風(fēng)格和數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。

就我個(gè)人而言，參加布爾巴基會(huì)議是一種獨(dú)特的體驗(yàn)，而且，從設(shè)計(jì)上來說，對數(shù)學(xué)界的其他人來說，這基本上是不可見的。

采訪者：聽起來確實(shí)很費(fèi)勁。所以，在布爾巴基研究中，個(gè)人或許會(huì)成名，但他們并沒有因?yàn)樗麄儗Σ紶柊突呢暙I(xiàn)而獲得贊譽(yù)。

巴斯： 數(shù)學(xué)思維的魅力吸引著我。我是個(gè)思維非常遲鈍的人。我身邊總是圍繞著一些比我聰明得多、反應(yīng)敏捷得多、對這個(gè)領(lǐng)域有更廣闊視野的人。我珍視的就是能夠與這樣的人相處。我從布爾巴基身上學(xué)到了很多。接觸到那樣的環(huán)境和那些人，對我來說彌足珍貴。

例如，我認(rèn)為我做過的最好的工作可能是那篇關(guān)于同余子群問題的論文。它有三位作者[BassMilnorSerre1967]。實(shí)際上，這篇論文是我自己起草的，我可以想象其他兩位作者對它的整理方式并不完全滿意；它很可能被分成兩篇或三篇不同的論文。例如，塞爾的貢獻(xiàn)是在開發(fā)后期才做出的。我決定了一些術(shù)語，這些術(shù)語或許應(yīng)該歸功于米爾諾的工作。

但我看重這項(xiàng)工作的，與其說是我做了什么，也不說是我想要得到什么贊譽(yù)，不如說是整個(gè)過程匯集了如此令人印象深刻且令人滿意的思想。這對我來說至關(guān)重要。令我驚嘆的是，這個(gè)關(guān)于矩陣群的自然問題不僅與數(shù)論中明確的廣義互反律息息相關(guān)，而且如果這些定律當(dāng)時(shí)尚未被發(fā)現(xiàn)，那么解決這個(gè)問題就需要發(fā)現(xiàn)它們。

例如，我認(rèn)為塞爾和米爾諾雖然彼此欣賞對方的作品，但他們從未合作過任何作品。因此，從這個(gè)意義上講，他們各自貢獻(xiàn)的思想更多的是互補(bǔ)而非交織。對我來說，我更欣賞的是整體的一致性；這與其說是個(gè)人功勞，不如說是關(guān)于匯集思想的美學(xué)問題。如果能將其中的各個(gè)部分以某種方式分開，或許會(huì)更有幫助。

回答“你為什么要放棄這些時(shí)間和精力去做像布爾巴基這樣的事？”——這只是我整個(gè)性格的一部分。我從未想過自己會(huì)成為某種偉大的數(shù)學(xué)思想創(chuàng)造者之類的人，但我真的很珍惜身處那種真正美妙、高水平的數(shù)學(xué)思維環(huán)境。這對我來說至關(guān)重要。

5 1990年代至今：數(shù)學(xué)教育

圖10： 海曼從喬治·W·布什總統(tǒng)手中接過國家科學(xué)獎(jiǎng)?wù)拢?007年

照片由美國國家科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)?wù)禄饡?huì)的瑞安·K·莫里斯拍攝

圖片由美國國家科學(xué)基金會(huì)提供

數(shù)學(xué)教學(xué)工作探究

采訪者：從1990年代開始，您開始更多地參與K12數(shù)學(xué)教育。您在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域合作時(shí)間最長的是與黛博拉·洛文伯格·鮑爾（Deborah Loewenberg Ball）合作。你們兩人是如何認(rèn)識(shí)的？

巴斯：教育發(fā)展中心舉辦了一場由Ed Dubinsky組織的關(guān)于本科教育的研討會(huì)。 黛博拉和我當(dāng)時(shí)就在場。 我記得她的想法給我留下了深刻的印象。 她有一種世故。正如我一直說的，我一直欣賞真正有趣的思想——主要是數(shù)學(xué)，但也包括政治、國際事務(wù)、民權(quán)、正義和人民。 這就是我們見面的地方，我們就這些想法進(jìn)行了通信。

后來，我通過數(shù)學(xué)科學(xué)教育委員會(huì)與她有了更正式的聯(lián)系。（海曼曾擔(dān)任美國國家研究委員會(huì)設(shè)立的數(shù)學(xué)科學(xué)教育委員會(huì)成員（1991 - 1993年）和主席（1993 - 2000年），作者注）我們斷斷續(xù)續(xù)地邀請她就一些我們正在討論的項(xiàng)目發(fā)表演講。就這樣，我們保持著機(jī)構(gòu)層面的聯(lián)系，但她也逐漸向我透露了更多她正在進(jìn)行的教學(xué)研究。

作為一名小學(xué)教師，她一直渴望提升自己的教學(xué)水平，但卻苦于數(shù)學(xué)教學(xué)的不足。她覺得自己對數(shù)學(xué)有一些理解上的欠缺，需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)。于是她選修了一些數(shù)學(xué)課程，這些課程很有幫助。但她并不知道如何將數(shù)學(xué)學(xué)科視角引入課堂，更不了解這種視角在教學(xué)實(shí)踐中的重要性。這促使她思考： 教學(xué)的數(shù)學(xué)工作是什么？ 但她并不確信自己能看到所有相關(guān)的數(shù)學(xué)事件，即使她能夠觀看自己教學(xué)的錄像。

這種知識(shí)上的謙遜并不常見。人們可能在自己擅長的領(lǐng)域非常精通。但需要謙遜才能認(rèn)識(shí)到，當(dāng)你進(jìn)入一個(gè)新領(lǐng)域時(shí)，你對想法的理解方式僅適用于某些特定目的，而這些目的可能并不適用于其他環(huán)境。你的知識(shí)只是貢獻(xiàn)，而不是統(tǒng)治。

然后，她做了一件我想更好地理解某件事時(shí)也喜歡做的事情。我喜歡找到我認(rèn)為對某件事了解最深入的人，然后去找他們，試圖加深理解。她決定招募一些數(shù)學(xué)家，不是讓他們告訴她什么數(shù)學(xué)適合教學(xué)，而是讓他們觀察實(shí)際教學(xué)實(shí)踐本身。她讓他們觀看教學(xué)視頻，并提出一個(gè)問題： 你認(rèn)為什么在數(shù)學(xué)上有意義且相關(guān)？ 那時(shí)，我們進(jìn)行了大量的思想交流，不僅涉及政策，還涉及教學(xué)中的數(shù)學(xué)工作。

在這些視頻中，她正在教三年級(jí)學(xué)生。我們分析的數(shù)據(jù)非常驚人。（對這批由斯賓塞基金會(huì)和美國國家科學(xué)基金會(huì)資助項(xiàng)目所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)資料的分析，為教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識(shí)這一概念奠定了實(shí)證基礎(chǔ)。）視頻附有詳細(xì)的文字記錄。學(xué)生的筆記本和作業(yè)都復(fù)印了。我們還提供了學(xué)生訪談和教師日志。

所以，這是一個(gè)非常棒的數(shù)據(jù)集合，可以用來真正理解教學(xué)實(shí)踐的內(nèi)容。黛博拉每年夏天都會(huì)在小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室繼續(xù)秉承這種精神實(shí)踐，持續(xù)幾周。但這個(gè)數(shù)據(jù)集合來自她一整年的教學(xué)，即1989 - 1990學(xué)年，當(dāng)時(shí)她教三年級(jí)。這非常了不起。如今，任何人都可以用手機(jī)拍攝視頻。但在當(dāng)時(shí)，收集這種規(guī)模的長期文獻(xiàn)是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。 （由Ruth Heaton、Magdalene Lampert和Deborah Loewenberg Ball主導(dǎo)的這項(xiàng)研究，首次采用“超媒體”hypermedia作為理解教學(xué)實(shí)踐的方法論[LampertHeatonBall1994]）

這很令人驚訝，因?yàn)楸M管我傾向于抽象概念，但這卻讓我感同身受。當(dāng)我看到孩子們在那些教室里做事時(shí)，感覺就像是在觀看他們做數(shù)學(xué)題的縮影。這真的令人興奮。我不確定這些孩子在其他老師的指導(dǎo)下是否會(huì)有同樣的感受。但不知何故，這些孩子在思考數(shù)學(xué)，并真正投入其中，我希望我的本科生也能有這樣的感覺。

問題在于真正深入其中。 數(shù)學(xué)上究竟發(fā)生了什么？教學(xué)是如何觀察和辨別學(xué)生所見所聞的？ 對于這些問題的答案，數(shù)學(xué)家們可以提供一些幫助。但他們無法講述全部。傾聽至關(guān)重要，不僅要傾聽孩子們的聲音，還要傾聽同事和其他人的聲音——更重要的是，關(guān)注教學(xué)的動(dòng)態(tài)及其復(fù)雜性。我沉浸于這些材料和問題之中，并被深深吸引。

數(shù)學(xué)“使人相信”

采訪者：您如何描述這種教學(xué)和學(xué)習(xí)？

巴斯：黛博拉和我寫了一篇論文， 我們嘗試傳達(dá)這個(gè)想法 我們可以將這種數(shù)學(xué)課堂文化與學(xué)科中發(fā)生的事情聯(lián)系起來[BallBass2000MakingBelieve]。

這些三年級(jí)學(xué)生，正在進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。他們思辨、推測、爭論。我們探索的問題是： 與學(xué)科中發(fā)生的事情相對應(yīng)的環(huán)境結(jié)構(gòu)是什么樣的？ 在本文中，我們稱這種結(jié)構(gòu)為“使人相信”。

“使人相信”（making believe）是一個(gè)常見的短語，意思是“自稱”（pretending），就像孩子們做的那樣。但我們用它來比喻實(shí)際的數(shù)學(xué)推理、證明和論證。因?yàn)楫?dāng)你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理時(shí)，你在做什么？什么時(shí)候它被證明？什么時(shí)候它被接受為知識(shí)和學(xué)科的一部分？是當(dāng)你說服了該學(xué)科的專家——當(dāng)你讓他們相信它的時(shí)候。當(dāng)審稿人說：“是的，這是對的，可以發(fā)表。” 換句話說，當(dāng)你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理時(shí)，這是一個(gè)讓人們相信某事的過程。

當(dāng)你想要證明某件事時(shí)，你可以說 B 為真，因?yàn)?A 蘊(yùn)含 B 。那么 A 呢？你可以說 A 為真，因?yàn)?C 蘊(yùn)含 A 。那么 C 呢？這到哪里為止？對于數(shù)學(xué)家來說，它止于公理、定義或先前建立的結(jié)果。你需要一些無需證明就能被接受的東西。當(dāng)然，這些東西是什么會(huì)有所不同，取決于人們的專業(yè)知識(shí)和社群是什么。

我們稱之為公共知識(shí)的基礎(chǔ) 。這種共享知識(shí)不是先驗(yàn)明確的。它必須通過經(jīng)驗(yàn)確定。它與該社群的共同假設(shè)有關(guān)，例如你已同意的定義以及所需的細(xì)節(jié)粒度。例如，如果你在高中，如果有人進(jìn)行常規(guī)數(shù)值計(jì)算，你不會(huì)要求他們證明為什么這樣做。但如果這是一個(gè)復(fù)雜的幾何論證，你會(huì)希望他們詳細(xì)解釋這一點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)中，我們有一個(gè)“公共知識(shí)基礎(chǔ)”的概念。如果你是一位邏輯學(xué)家，你正在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。在分析中，你不會(huì)問關(guān)于實(shí)數(shù)性質(zhì)的問題。你假設(shè)的是基礎(chǔ)知識(shí)。但它并非精確確定的；必須對起點(diǎn)達(dá)成某種默契。

換句話說，每個(gè)社群都有自己的公理和定義。我們有一些可以引用的定理，它們也是文獻(xiàn)的一部分。

如何讓這個(gè)基礎(chǔ)變得易于理解？在三年級(jí)的教室里，墻上貼滿了海報(bào)。有些海報(bào)是關(guān)于學(xué)生契約的——學(xué)生們同意如何遵守話語規(guī)范之類的。但也有一些海報(bào)是關(guān)于數(shù)學(xué)的。有些海報(bào)后來受到了質(zhì)疑，但在張貼時(shí)，學(xué)生們已經(jīng)暫時(shí)達(dá)成了某種共識(shí)，認(rèn)為海報(bào)上的陳述是正確的。所以這些海報(bào)就是文獻(xiàn)，記錄了已經(jīng)取得的成果。它們還記錄了話語規(guī)則、事物如何受到質(zhì)疑，以及辯論的過程是怎樣的。

為了描述使數(shù)學(xué)作業(yè)成為可能的課堂結(jié)構(gòu)，我們不僅僅重述結(jié)果和規(guī)范，而且根據(jù)1989 - 1990年的數(shù)據(jù)語料庫提供了記錄。我們的分析包括學(xué)生之間的實(shí)際陳述以及他們爭論的內(nèi)容。我們確定了數(shù)學(xué)探索過程的要素，包括數(shù)學(xué)語言的發(fā)展和論證的推理。

例如，1990年1月，學(xué)生們正在學(xué)習(xí)偶數(shù)和奇數(shù)。但她（黛博拉）并沒有從定義這些數(shù)字開始。相反，她給出了這樣的問題：

橡皮擦售價(jià)2美分，鉛筆售價(jià)7美分。你可以買鉛筆和橡皮擦。如果你愿意花30美分，你能買到多少種不同組合的橡皮擦和鉛筆？

關(guān)鍵在于鉛筆的數(shù)量必須是偶數(shù)，因?yàn)樗鼈兊膬r(jià)格是7美分，而7是奇數(shù)。橡皮擦每塊價(jià)格是2美分，而2是偶數(shù)。所以你需要偶數(shù)支鉛筆，才能使鉛筆和橡皮擦的總價(jià)正好是30美分。（關(guān)于該事件的詳細(xì)記載，請參閱Ball與Bass（2003）的研究[BallBass2003Reasonable]）

學(xué)生們就這樣發(fā)現(xiàn)了兩種數(shù)：偶數(shù)和奇數(shù)。有了這些概念，他們開始探索，如果把兩種數(shù)相加會(huì)發(fā)生什么。他們開始猜測：

偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)

奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)

然后兩個(gè)學(xué)生說：“我們不同意。” 其中一個(gè)學(xué)生提出了一個(gè)他們認(rèn)為正確的論證。但這兩個(gè)學(xué)生又說：“我們考慮過了，我們認(rèn)為你無法證明它總是成立。” 黛博拉問他們：“為什么？” 學(xué)生們說：“數(shù)字是無限的，奇偶數(shù)也是無限的，所以你無法證明它總是成立。”

這真是令人震撼。

這些學(xué)生是對的，因?yàn)樗麄兯械淖C明方法到目前為止都是通過檢查案例來實(shí)現(xiàn)的。今年早些時(shí)候，問題的范圍是有限的，而不是無限的。他們可以通過檢查所有案例來證明他們已經(jīng)處理了所有可能出現(xiàn)的情況。所以，說無法在所有情況下證明這一命題是錯(cuò)誤的，而他們認(rèn)為無法用檢查案例的方法證明這一點(diǎn)是正確的。

圖11：密歇根大學(xué)的海曼，2006年

他們所做的不僅僅是數(shù)學(xué)思考——他們實(shí)際上是在構(gòu)建證明本身的基礎(chǔ)架構(gòu)。他們沒有奇數(shù)的正式定義。但是，如果數(shù)字意味著事物的集合，而當(dāng)你把一個(gè)奇數(shù)分成兩對時(shí)，總會(huì)剩下一個(gè)。當(dāng)然，當(dāng)你把兩個(gè)奇數(shù)放在一起時(shí)，剩下的兩個(gè)1可以組成另一對。

那么，這個(gè)論證是如何超越這個(gè)挑戰(zhàn)的呢？盡管奇數(shù)有無限多種情況，但奇數(shù)的定義本身的范圍是無限的。它是無限量化的。所有奇數(shù)，當(dāng)你把它們分成兩對時(shí)，總會(huì)剩下一個(gè)。因此，結(jié)論的無限范圍是可能的，因?yàn)樗呀?jīng)嵌入在定義本身中。

這是數(shù)學(xué)思維的一次令人印象深刻的進(jìn)化。而且它并非程式化，也并非某些課程教給他們?nèi)绾涡袆?dòng)的腳本。這是一種隨著時(shí)間推移而發(fā)生的教學(xué)過程。當(dāng)時(shí)是一月，正值學(xué)年中期。

九月份的時(shí)候，老師還在問他們類似的問題，他們的數(shù)學(xué)思維也比較活躍，但比一月份的時(shí)候發(fā)展得慢多了。九月份的時(shí)候，他們有點(diǎn)不習(xí)慣，甚至對以前遇到過的類似問題不適應(yīng)。這對他們來說很新鮮。他們能夠說出一些有趣的事情，并開始對它們產(chǎn)生好奇心。但他們還沒有形成那種讓九月份的孩子變成一月份的孩子，做出這些驚人之舉的文化。

這就是擁有整個(gè)學(xué)年教學(xué)記錄的重要性。所有課程都錄像了。你可以看到哪些舉措促進(jìn)了這種發(fā)展。這種記錄不容易記錄，即使是書面記錄也很難。能夠查看原始數(shù)據(jù)非常有用。

數(shù)學(xué)教學(xué)能力建設(shè)

采訪人：需要什么條件才可以學(xué)習(xí)這樣的教學(xué)？

巴斯：這種教學(xué)方式蘊(yùn)含著深刻的洞見。問題是，你能大規(guī)模復(fù)制這種教學(xué)方式嗎？ 你將如何構(gòu)建一個(gè)能夠復(fù)制這種教學(xué)方式的教師教育項(xiàng)目？你很難培養(yǎng)出另一個(gè)黛博拉。但黛博拉本人非常熱衷于在教學(xué)中培養(yǎng)這種素質(zhì)的能力。

她和其他志同道合的人，比如帕姆·格羅斯曼（Pam Grossman），所采用的方法是觀察其他工作領(lǐng)域如何培養(yǎng)出技能型的專業(yè)人員，并從中汲取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。你是如何成為一名外科醫(yī)生的？你是如何成為一名飛行員的？你是如何成為一名水管工的？

他們有一個(gè)想法：實(shí)踐分解（decomposition of practice）。（Grossman及其同事（2009）[GrossmanEtAl2009]通過對比神學(xué)院、臨床心理學(xué)與教師培訓(xùn)項(xiàng)目的研究，首次提出這一概念。）當(dāng)你遇到一個(gè)困難而復(fù)雜的問題時(shí)，有時(shí)可以嘗試將其分解成更小的問題，然后將它們組合起來，或許再做一些額外的工作，就能解決整個(gè)問題。在數(shù)學(xué)證明中，我們稱之為引理（lemma）。它們是論證中可以分離出來的部分。

黛博拉在密歇根大學(xué)教職工中組織了一個(gè)小組，尤其是在她擔(dān)任院長之后。這個(gè)小組致力于識(shí)別和發(fā)展他們最終稱之為 “高杠桿實(shí)踐”的東西——教師日常工作中會(huì)做的事情，這些事情能夠真正影響教學(xué)。

我們希望教師們能夠各自掌握這些技能，并最終將它們?nèi)跁?huì)貫通。就像你是一名網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)員，你會(huì)學(xué)習(xí)正手、反手、發(fā)球等等。但即使你把這些都學(xué)好了，也不意味著你就能打好比賽。你必須協(xié)調(diào)這些技能，并以某種方式將它們?nèi)诤显谝黄稹?/p>

圖12： 2001年7月26日，從左到右依次為Deborah Loewenberg Ball、眾議員Vernon Ehlers、Hyman Bass和Roger Howe，出席AMS美國數(shù)學(xué)會(huì)在國會(huì)山為國會(huì)議員及其工作人員舉行的午餐簡報(bào)會(huì)

經(jīng)過幾年的時(shí)間，這個(gè)團(tuán)隊(duì)列出了大約一百項(xiàng)實(shí)踐。這很繁瑣，而且它們彼此之間并非相互獨(dú)立。下一步是將這些實(shí)踐提煉成真正關(guān)鍵、對教學(xué)至關(guān)重要且影響深遠(yuǎn)的內(nèi)容。最終，他們列出了19項(xiàng)高杠桿實(shí)踐。例如，其中一項(xiàng)就是“引導(dǎo)數(shù)學(xué)討論”。這份清單不斷修改，內(nèi)容或減少或擴(kuò)充。之后，她在密歇根大學(xué)成立了一個(gè)名為 TeachingWorks 的機(jī)構(gòu)，在全國范圍內(nèi)開展專業(yè)發(fā)展，以開發(fā)這些各種各樣的高杠桿實(shí)踐。

該領(lǐng)域的另一個(gè)問題是， 成為一名教師需要什么條件才能獲得執(zhí)照？ 在美國，執(zhí)照是由州政府頒發(fā)的。這本身并無不合理之處。 例如，在法律上， 每個(gè)州的做法都不同，因?yàn)榉蓪?shí)際上不同。 但在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，有全國考試。做心臟手術(shù)在密歇根州和阿拉巴馬州的情況其實(shí)并沒有什么不同。心臟、身體，總體來說都是一樣的。同樣，分?jǐn)?shù)跨越州界時(shí)不要改變。

因此，數(shù)學(xué)國家標(biāo)準(zhǔn)的想法有道理。 但這個(gè)國家的政治結(jié)構(gòu)不適合以那種方式做事。 黛博拉曾召開過一次會(huì)議，討論在全國范圍內(nèi)推行數(shù)學(xué)教師執(zhí)照制度的想法。這個(gè)想法有很多優(yōu)點(diǎn)，但目前尚不清楚它是否能獲得足夠的政治支持。

圖13：海曼出席于2007年在Oberwolfach（奧伯沃爾法赫）舉行的數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展會(huì)議

照片源：Ingeborg Pietzko

以連接為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)思維

采訪者：您什么時(shí)候決定將研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)教育？

巴斯：它更具進(jìn)化性，并且與年齡也有一定的關(guān)系。 做嚴(yán)肅數(shù)學(xué)的要求很高，不僅要按時(shí)，還要在洗澡或散步時(shí)思考你的事情 。記憶力也起著重要作用，但隨著年齡的增長，記憶力會(huì)變得越來越差。 全力以赴地進(jìn)行嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)研究和認(rèn)真思考教育問題，同時(shí)又不失為一件很困難的事。

我和黛博拉一起做的工作主要集中在基礎(chǔ)層面，但在數(shù)學(xué)上仍然比較復(fù)雜。在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，很多工作都圍繞著文化、公平和人類行為展開。這些方面很重要，而且絕對必要。但這些領(lǐng)域也是我感覺自己專業(yè)知識(shí)不足的領(lǐng)域。

我從來都不是一個(gè)思維敏捷的人，即使在K理論方面，我從一開始就深度參與其中。后來，當(dāng)這個(gè)話題變得非常活躍時(shí)，就有人比我更快地參與其中，它也就變得意義深遠(yuǎn)，影響也遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了我的專業(yè)知識(shí)。

在教育領(lǐng)域，我對很多事情都很感興趣，甚至有一些獨(dú)到的見解。但我知道，這個(gè)領(lǐng)域有很多人思考的時(shí)間更長，可能也更有洞見。我覺得自己無法發(fā)表超越他們現(xiàn)有能力的言論。

所以我試著思考，哪些問題我感覺沒有得到充分的重視，哪些方面我可以有新的見解？最近，我的思考開始圍繞“數(shù)學(xué)連接”的概念，關(guān)于數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。從廣義上講，它關(guān)乎數(shù)學(xué)思想的一致性，而這些思想應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的一部分。

這里有一個(gè)問題： 如果你認(rèn)為數(shù)學(xué)是人們應(yīng)該學(xué)習(xí)的知識(shí)和技能體系，那么我們該如何構(gòu)建一個(gè)教育體系來為人們提供這些資源呢？ 在數(shù)學(xué)中，有分析和專門化與綜合相對，還有分解和組合。 你可以把數(shù)學(xué)分解成幾個(gè)部分，然后分解它—— 這就是分析。 通過這樣做，我們可以識(shí)別你要教授的學(xué)科的一致部分并給它們命名，如數(shù)論、代數(shù)、幾何、概率、微積分等等。我們有一個(gè)核心結(jié)構(gòu)，它代表了學(xué)科的分解，這也是我們的教育結(jié)構(gòu)。 但合成又如何呢？

我研究過很多課程和教學(xué)。即使在本科教學(xué)中，學(xué)生們也覺得這些課程就像一座座孤島，彼此之間毫無聯(lián)系。這是一種孤立的結(jié)構(gòu)。這會(huì)產(chǎn)生影響。

當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)問題時(shí)，他們做的第一件事就是把它類型化（typecast）。這是一個(gè)數(shù)論問題。這是一個(gè)幾何問題。這是一個(gè)微積分問題。

然后，如果問題解決方案需要他們從多個(gè)領(lǐng)域部署資源，而問題又不屬于他們所定義的類型，他們就會(huì)下意識(shí)地不允許自己跨越界限，進(jìn)入另一個(gè)領(lǐng)域。沒有人告訴他們不要這樣做。他們就是不這么做。

就像人們剛開始學(xué)習(xí)幾何時(shí)，沒有人會(huì)說， 你不能在那個(gè)圖形里畫輔助線 。但這是一種文化障礙。因此，有很多跡象表明，即使學(xué)生受過良好的教育，并且在各個(gè)領(lǐng)域都展現(xiàn)出高度發(fā)達(dá)的技能，他們?nèi)匀粺o法感受到數(shù)學(xué)整體的一致性。

當(dāng)然，在外面的世界，問題是多學(xué)科的，跨越界限的。即使在數(shù)學(xué)內(nèi)部，也是如此。

我從認(rèn)知科學(xué)中想到的一個(gè)信息是你有多少知識(shí)，或者你有什么知識(shí)，都不夠。更重要的是你的人脈有多廣。 換句話說，你所擁有的知識(shí)就是其各部分之間的連接發(fā)展得有多好。有各種證據(jù)可以證明這一點(diǎn)，其中一個(gè)來自認(rèn)知心理學(xué)與一個(gè)叫做遷移（transfer）的概念相關(guān)。

如果你獲得了A的知識(shí)，你能將其應(yīng)用到B嗎？其中B的結(jié)構(gòu)與A大致相同。（例如，如果你在學(xué)校通過數(shù)軸學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)概念，能否將其運(yùn)用于理解貨幣兌換場景？）遷移是關(guān)于你是否能夠?qū)⒅R(shí)輸出到不同背景下結(jié)構(gòu)相似的問題。 嗯，實(shí)驗(yàn)表明轉(zhuǎn)移很少發(fā)生。

所以我一直在思考， 如何教人們建立數(shù)學(xué)連接？

當(dāng)然，有很多種連接。有些連接相當(dāng)明顯。如果你給一張作業(yè)練習(xí)紙，那些問題都是相關(guān)的，學(xué)生們也能看出它們之間的聯(lián)系。

圖14： 從左到右依次為 Hyman Bass、Charles E. Wilkes II、Deborah Loewenberg Ball 和 Yvonne Lai，攝于內(nèi)布拉斯加大學(xué)林肯分校，2024年5月

我對那些不明顯的連接很感興趣，那些具有深度和微妙之處的聯(lián)系。我對此感興趣的一個(gè)原因是，數(shù)學(xué)以及科學(xué)領(lǐng)域的一些重大突破，往往源于人們意識(shí)到，兩件看似毫不相干、或許屬于同一學(xué)科不同領(lǐng)域的事物，實(shí)際上卻以某種深層的方式相互關(guān)聯(lián)。

例如，龐加萊在登上公交車時(shí)，突然意識(shí)到他所研究的富克斯函數(shù)變換與非歐幾里得幾何的變換完全相同。

“……就在我的腳剛踏上臺(tái)階的那一刻，這個(gè)想法突然閃現(xiàn)。我之前的任何思考似乎都未曾為此鋪墊：我曾用于定義富克斯函數(shù)（Fuchsian function）的變換，竟與非歐幾何中的變換完全一致。由于剛落座談話便重新開始，我無暇驗(yàn)證這一想法，但在那一刻我感受到了絕對的確定性。” ——龐加萊，1908年，第388頁 [Poincare1908]

或者以朗蘭茲綱領(lǐng)為例。它涉及數(shù)論和伽羅瓦表示到調(diào)和分析的連接。這不是一個(gè)理論，而是一個(gè)人們將在未來幾十年內(nèi)繼續(xù)研究的綱領(lǐng)。

數(shù)學(xué)就是尋找模式。數(shù)學(xué)家在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)他們在不同情境下一遍又一遍地重復(fù)著本質(zhì)上相同的工作時(shí)，他們發(fā)現(xiàn)了一種模式。當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，他們會(huì)問，所有這些“事物”究竟是什么，它們都是特例？ 這是一個(gè)概念性問題，因?yàn)檫@是一個(gè)還不存在的新概念。

抽象并非如此奇特。數(shù)字就是抽象。數(shù)字5。數(shù)字5在哪里？你能指出它嗎？不能。但你可以舉起5個(gè)手指，這就是5個(gè)事物的一個(gè)例子。我可以說，如果另一個(gè)事物是5個(gè)事物的一個(gè)例子，我可以具體地實(shí)現(xiàn)它，我可以證明元素之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。說這兩個(gè)事物相同是具體的。但如何給這種相同性命名呢？這是在創(chuàng)造新的東西，一個(gè)以前不存在的新概念。而這通常就是抽象的意義所在。

我的想法是，當(dāng)你構(gòu)建一個(gè)理論時(shí)，它實(shí)際上是在創(chuàng)建一個(gè)概念框架，涵蓋許多看似不同，但其實(shí)是同一事物的案例。我嘗試從許多不同的方向來探討這個(gè)想法。

現(xiàn)在，我們無法教會(huì)學(xué)生擁有朗蘭茲綱領(lǐng)或龐加萊那樣的遠(yuǎn)見卓識(shí)，因?yàn)槭紫龋惚仨毩私夂芏嗖煌臇|西才能做到這一點(diǎn)。但我最近一直在努力培養(yǎng)所謂的“面向連接的數(shù)學(xué)思維”。

我可以舉出很多易于理解的例子。（例如，在[Bass2017]中可以找到若干示例：當(dāng)海曼證明了一個(gè)通用的測度理論結(jié)構(gòu)時(shí)，該結(jié)構(gòu)構(gòu)成了一組關(guān)于液體混合、離散計(jì)數(shù)和面積問題的基礎(chǔ)。作者注）關(guān)鍵在于辨別和使用連接，并非指望我們無需指導(dǎo)就能做到。那么問題來了： 如何教授面向連接的數(shù)學(xué)思維呢？ 這些是我最近一直在探索的想法。下個(gè)學(xué)期我休假了。 我希望能夠?qū)懸恍┯嘘P(guān)它的東西。

在認(rèn)知心理學(xué)的遷移實(shí)驗(yàn)中，參與者會(huì)被給予一對所謂的同構(gòu)問題，比如 問題 A 和問題 B 。實(shí)驗(yàn)者會(huì)將問題 A 教給參與者，然后給他們問題 B 。實(shí)驗(yàn)者想知道參與者是否能夠識(shí)別結(jié)構(gòu)等價(jià)性，并運(yùn)用 A 的知識(shí)來解決 B 。他們發(fā)現(xiàn)這種情況很少發(fā)生。我的重點(diǎn)不在于遷移，而是強(qiáng)調(diào)建立連接 。關(guān)鍵在于，即使你能夠獨(dú)立解決 A 和 B ，你仍然可能看不到它們之間的聯(lián)系。而且，有時(shí)，即使問題看似等價(jià)，但實(shí)際上并非如此。

即使是相當(dāng)基礎(chǔ)的問題，根據(jù)它們的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)性進(jìn)行排序或分類也可能頗具挑戰(zhàn)性，尤其是它們是否真的等價(jià)或同構(gòu)。我一直在開發(fā)各種材料，用于設(shè)計(jì)針對此類思維的教學(xué)活動(dòng)。

6 數(shù)學(xué)家和教育家之間的關(guān)系

圖15：2024年，海曼在密歇根州德克斯特的家中

照片源：加布里埃拉·巴斯 (Gabriella Bass)

采訪者：在1990年代到21世紀(jì)初的數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭中，您擔(dān)任過多個(gè)管理職位，包括美國數(shù)學(xué)會(huì)和美國國家科學(xué)院。您認(rèn)為這些數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭最大的影響是什么？

巴斯：我認(rèn)為數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭是有點(diǎn)做作。盡管如此，它們還是讓事情倒退了很長一段時(shí)間。

這是一個(gè)復(fù)雜的故事。數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家們所遭受的困擾之一，就是精英主義，甚至是傲慢。在“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭”中，一些數(shù)學(xué)家試圖維護(hù)自己的權(quán)威，因?yàn)樗麄冏C明了一些定理，而且他們在一所好大學(xué)里擁有職位。因此，他們不受質(zhì)疑。

這就像社會(huì)認(rèn)定，如果你擁有某種真正高度發(fā)達(dá)的技能和技術(shù)領(lǐng)域，那么你就很有智慧，擁有真知灼見，可以為幾乎所有人類關(guān)注的領(lǐng)域做出貢獻(xiàn)。甚至有人認(rèn)為，當(dāng)工程師因?yàn)槟承┬袠I(yè)轉(zhuǎn)型而失業(yè)時(shí)，他們有資格當(dāng)老師，這也是其中的一部分原因。

數(shù)學(xué)家們對嚴(yán)謹(jǐn)、誠實(shí)地處理數(shù)學(xué)主題非常講究。但有趣的是，即使是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家也并不總是能就如何以最佳方式呈現(xiàn)這些思想達(dá)成共識(shí)，更不用說了解教學(xué)的內(nèi)涵了。

所以，事實(shí)上，人們普遍對教師懷有一種蔑視。人們可能不會(huì)直接表達(dá)這種蔑視。只是覺得教師沒有地位。一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為，教師不應(yīng)該被聽取，而應(yīng)該聽取我們的意見。這才是阻礙進(jìn)步的真正障礙。

如何提升教師職業(yè)的水平和地位？這很復(fù)雜。即使在教育領(lǐng)域，要做到這一點(diǎn)也有很多問題。例如，發(fā)展高水平的實(shí)踐需要高水平的評(píng)審。如果你是藝術(shù)家或建筑師，同行會(huì)進(jìn)行“評(píng)審”。學(xué)醫(yī)時(shí)，也會(huì)有評(píng)審會(huì)。在藝術(shù)工作室里，其他藝術(shù)家會(huì)圍著你的畫稿或作品，提出一些非常有見地的問題。你為什么這樣做？你覺得換個(gè)位置怎么樣？顏色、構(gòu)圖等等怎么樣？藝術(shù)家、建筑師和外科醫(yī)生都習(xí)慣了這種做法。他們是認(rèn)真的實(shí)踐者，會(huì)傾聽同行的意見。在很多領(lǐng)域，這種做法都非常有效。

但教學(xué)本身就非常私密。當(dāng)其他人介入并試圖評(píng)估他們的工作時(shí)，教師們常常感到不安全——這是有充分理由的。評(píng)估的方式過于懲罰性且缺乏建設(shè)性，有時(shí)甚至是由對這項(xiàng)工作缺乏足夠了解的人進(jìn)行的。因此，有很多方面需要改變。數(shù)學(xué)家并沒有幫助人們安全地發(fā)展和改進(jìn)文化。如果你想改善一個(gè)龐大職業(yè)的實(shí)踐，你就無法通過嘲笑該職業(yè)的成員來推進(jìn)這一事業(yè)。

當(dāng)然，辯論是必要的。教育必須不斷發(fā)展，這個(gè)領(lǐng)域也有一些好的想法，例如持續(xù)改進(jìn)的理念，以及從系統(tǒng)層面審視問題（例如[ParkHironakaCarverNordstrum2013]）。

黛博拉所做的工作非常扎實(shí)，非常注重實(shí)踐層面。如果不了解實(shí)踐者在基層如何運(yùn)用，任何事物都無法完全實(shí)現(xiàn)。但我們也需要在系統(tǒng)層面進(jìn)行更多思考。然而，諷刺的是，實(shí)際的教學(xué)工作卻是教育領(lǐng)域中研究最少的部分。

采訪人：您對未來數(shù)學(xué)家和教育家之間的互動(dòng)有什么期望？

巴斯：嗯，總的來說，我認(rèn)為是和諧。 我認(rèn)為 這方面實(shí)際上已經(jīng)取得了很大進(jìn)展。

數(shù)學(xué)家們應(yīng)該更加重視教育——不僅要尊重K12教育，還要尊重大學(xué)階段的教育。

并非每個(gè)人都應(yīng)該以同樣的熱情投入這項(xiàng)工作。但我們必須給予部門內(nèi)從事這項(xiàng)工作的人員更多的尊重和地位。數(shù)學(xué)家需要認(rèn)識(shí)到這項(xiàng)工作與他們的研究同等重要，甚至具有協(xié)同作用，事實(shí)上，這項(xiàng)工作能夠豐富他們的研究。

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