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城市形態千變萬化，城市中的特征變量豐富多彩。在這變化之中有什么樣的共性特征和相似規律呢？分形，作為一種幾何工具，為我們理解城市的這些普遍規律提供了一種嶄新視角，也為城市規劃者和景觀設計者提供了一種新思路。 

一、我們生活在一個幾維的城市中？

現在學界的普遍共識是，人類文明發跡于大江大河邊，比如兩河流域是蘇美爾文明的發源地，尼羅河孕育了古埃及文明，黃河邊誕生了華夏文明。而“文明”一詞英文（Civilization)即來自拉丁文civis，意為城市及其公民。因此，城市與河流有著密不可分的關系，早期城市布局或者人口集聚的走向往往沿著河流形成一條線形。因此，早期的城市雛形很可能是一個近似一維空間的線形走向。隨著人口規模的增大，人類的棲息地不斷擴展，城市布局逐步擴展，形成了二維平面式的拓展。當然，二維平面城市的形態也可能是多種多樣的，既有如北京城那樣的“方形”，也有依河而建、傍水而擁的環形。隨著人口密度的提高，城市逐步向高空發展。在中世紀時，歐洲的城市就開始呈現三維的特征了。在城市中，起初是教堂，辦公樓等設施開始往高處延伸，后來，便是住房越來越高，現在的工業和農業也向高處發展。三維城市發展過程中，城市的天際線逐步被打破。比如，十九世紀末，巴黎埃菲爾鐵塔（324米）最高，二十世紀初，紐約帝國大廈（449米）最高，二十世紀中后期，莫斯科電視塔（540米）最高，二十一世紀，上海中心（632米）、迪拜哈利法塔（828米）等全球領先。

人口規模是迫使城市維度提升的最核心動力，既能讓城市“越攤越大”，也能讓城市“越長越高”。在“越攤越大”的二維延伸與“越長越高”的三維拓展之間有個臨界人口。2019年，奧地利的兩位城市學者Carlos Molinero和Stefan Thurner通過分析一些國家的城市布局與人口規模的關系，發現10萬人的規模是城市形態的分界點。在10萬人以下的城市中，人口規模增大并不影響城市高度，也就是說，10萬人以下的城市可以“越攤越大”，而10萬人以上的城市，人口增加會顯著提升城市高度，表現出“越長越高”。比如，人口從10萬提高到100萬，城市建筑物的平均高度也會從2.0米提高到2.5米。 

二、城市還有其他維度嗎？

除了一維、二維和三維的城市，還會有其他的城市維度嗎？有沒有2.5維的城市或者1.5維的街道？在歐式幾何中，顯然沒有，因為維度只能是整數的。但是在分形的世界中，城市的維度不是整數卻是可能的。比如，圖1中曲線就是分形的一個簡單例子，叫做Koch曲線，一條普通的線段，在每個1/3處變成折線，經過4次迭代就變成了波浪形或者海岸線的形狀。現在人們知道Koch曲線的維度大概是1.26左右。1967年，著名數學家MandelBrot面對這樣酷似海岸線形狀的曲線，提出了一個問題《英國的海岸線有多長？》，他通過嚴格的數學推導，發現因為分形的存在，測量海岸線長度是一個不可能完成的事情，他把文章寄給了著名的《科學》雜志，成為了分形領域劃時代的一篇論文。

圖1  Koch曲線，一個簡單分形的例子（筆者繪制）

回到城市這個問題上，分形跟城市有什么關系呢？為什么城市中的有些維度卻是非整數的呢？這都與分形的概念有關，分形，通俗地講，就是一個系統的局部，通過放大后，能夠還原系統本來的面貌，每一個局部都是整體的縮小版，具有這樣的特征就是分形。在數學上或者分形領域，把分形的這種特征稱為自相似性（Self-similarity）。例如，一片樹葉的每個經絡放大后就是一片樹葉的原貌。城市內部及整個城市體系中有很多分形現象。比如，如果我們把一個區域放大，其組織架構與一個市差不多；如果我們把一個市放大，其組織架構與一個省差不多，每一級體系中都能在其上一級或者下一級找到對應，這就是最典型的分形系統。除了組織架構，城市的地理空間有時候也呈現分形的特征，比如，前面提到的城市海岸線、城市交通網絡、城市的人口分布等都具有分形的特征。這些特征背后的局部與整體都存在一定程度的相似性。比如，有學者計算了美國城市群的道路分形維度，發現，基本在2-3之間，也有學者認為，城市中景觀的分形維度在0.7到1.5之間。

到這里大家可能發現，分形中的維度與我們常常說的維度有一點不同。的確如此，平時我們所說的維度多指坐標系中正交軸的數量，而分形中的維度則是從局部到整體放大的快慢程度，一個具自相似性的系統，里面自相似的局部與整體尺度相差越大，維度越高。但是兩個維度在拓撲學中卻都能用來表現一個系統的復雜程度，維度越高的城市，復雜性也越高。 

三、城市的分形有何用？

1898年，英國社會活動家、城市學家埃比尼澤·霍華德規劃的《明日的田園城市》（Garden Cities of Tomorrow）已經初見了城市分形的身影。2021年，上海市內五個新城建設也要求成為“獨立綜合性節點城市”也是城市分形特征的重要體現。分形在指導城市規劃和建設方面具有重要意義，正如陳彥光教授指出的：“只有采用適當的方法有效描述一個（城市）系統，才能真正理解它的運行機理”。分形不僅提供了一種描述城市維度和復雜性的工具，也提供了一種理解城市運行機理的全新視角。在城市規劃、城市資源配置以及城市對外聯絡方面發揮著越來越重要的作用。

圖2  霍華德的明日的田園城市（來自《明日的田園城市》）

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“解釋城市”專欄由上海發展戰略研究所戴躍華博士主持，關注城市科學發展的前沿趨勢，解釋城市科學以及城市中人類行為動力學的一般特征和規律，探究利用前沿城市科學理論優化城市治理的路徑和方法。