紐約街頭。視覺(jué)中國(guó) 資料圖

在城市和區(qū)域科學(xué)中，齊普夫法則（Zipf law）是一個(gè)簡(jiǎn)單而又復(fù)雜的存在。說(shuō)它簡(jiǎn)單，是因?yàn)樗谋憩F(xiàn)形式簡(jiǎn)單、直觀、普適；說(shuō)它復(fù)雜，是因?yàn)橛嘘P(guān)齊普夫法則的機(jī)理性解釋一直爭(zhēng)論不休，甚至到目前為止也沒(méi)有十分完美的解釋。各國(guó)的現(xiàn)實(shí)情況與齊普夫法則的對(duì)應(yīng)性和適應(yīng)性也被廣泛討論。 

一、什么是齊普夫法則?

通俗來(lái)說(shuō)，一個(gè)國(guó)家人口最多的城市人口數(shù)量通常是第二多城市人口數(shù)的2倍，是第三多城市人口數(shù)的3倍，是第四多城市人口數(shù)的4倍……以此類推。簡(jiǎn)言之，人口規(guī)模位次排名首位城市人口數(shù)量是位次排名第n位城市的人口規(guī)模的n倍，這里面涉及到兩個(gè)量，排名的位次和人口的規(guī)模，所以也稱為位次-規(guī)模法則。齊普夫法則得名于美國(guó)的語(yǔ)言學(xué)家G. K. Zipf，在他的1949年的一本書(shū)《人類行為與最小努力原則》中，提出了一個(gè)觀點(diǎn)，人們總是很懶，做一件事總是希望付出最小努力，比如想表達(dá)一個(gè)觀點(diǎn)，總是希望用最少的語(yǔ)言和詞匯，這樣的一種后果就是少數(shù)幾個(gè)單詞大量重復(fù)，而不得已才會(huì)用一些復(fù)雜的詞匯，所以一些詞匯出現(xiàn)的次數(shù)就相當(dāng)少。他統(tǒng)計(jì)了書(shū)中單詞，發(fā)現(xiàn)了上述與城市人口位次-規(guī)模差不多的結(jié)論，一本書(shū)中出現(xiàn)次數(shù)最多的單詞的次數(shù)是出現(xiàn)第二多單詞的次數(shù)的2倍，是第三多單詞的3倍……后人為了紀(jì)念他提出的“最小努力”原則就把該現(xiàn)象稱為“齊普夫法則”（Zipf’s law）。其實(shí)，城市領(lǐng)域這種現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)要比齊普夫單詞現(xiàn)象要早，城市的人口位次與規(guī)模之間的關(guān)系第一次被明確記錄是1913年在德國(guó)物理學(xué)家?jiàn)W爾巴赫（Felix Auerbach)的文章《人口集中定律》（德文名稱 Das Gesetz der Bev?lkerungskonzentration）中，他第一次系統(tǒng)分析了1910年德國(guó)94個(gè)城市規(guī)模和位序之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這些城市的規(guī)模和位次的乘積是一個(gè)常數(shù)。

如果用數(shù)學(xué)符合和圖形來(lái)表達(dá)齊普夫法則就更有意思了。數(shù)學(xué)上假設(shè)排名為n的城市人口為y，那么數(shù)學(xué)表達(dá)成 n=A*y^(B)（A和B都是參數(shù)），如果是完美符合齊普夫法則，那么B=-1，這時(shí)候n*y=A，就是上面奧爾巴赫發(fā)現(xiàn)的規(guī)模和位次的乘積是一個(gè)常數(shù)。在圖形上，如果把位次n作為縱坐標(biāo)，人口規(guī)模y作為橫坐標(biāo)，放在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，會(huì)得到一條完美的斜率為-1的直線（如下圖那樣），之所以要放在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中，是因?yàn)閚=A*y^(B)經(jīng)過(guò)雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系變換就是一個(gè)我們很熟悉的線性方程。其實(shí)，雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系起到一種“降維”的作用，現(xiàn)實(shí)世界的很多復(fù)雜關(guān)系通常不是線性的，而是高維非線性的，人們?yōu)榱颂幚矸奖悖ǔ２捎脤?duì)數(shù)坐標(biāo)使得高維的非線性回歸到低維的線性過(guò)程。

圖1  一個(gè)完美的齊普夫法則線    資料來(lái)源：筆者繪制

二、是什么造就了齊普夫法則？

對(duì)齊普夫法則的機(jī)理性解釋或者動(dòng)力學(xué)原因闡述一直飽受關(guān)注和爭(zhēng)論。一方面，它背后的機(jī)理也許直接關(guān)系到“財(cái)富為什么總是不均衡分布”“為什么上市公司少數(shù)頭部企業(yè)集中了大部分利潤(rùn)”等一系列有關(guān)“不平衡”和馬太效應(yīng)的現(xiàn)象。另一方面，不同階段對(duì)于齊普夫法則的認(rèn)識(shí)通常會(huì)不一樣。比如，早期齊普夫本人在那本書(shū)中提出的人類“最小努力”原則算是一個(gè)解釋。這里筆者介紹幾個(gè)城市科學(xué)領(lǐng)域比較知名的解釋。第一種解釋是由卡耐基梅隆大學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家，同時(shí)也是1978年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者的哈伯特·西蒙（Herbert. A. Simon）在1955年提出的隨機(jī)增長(zhǎng)（Random growth）理論，1999年哈佛大學(xué)教授Xavier Gabaix在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明和完善。他們認(rèn)為不管這些城市一開(kāi)始的規(guī)模如何，只要他們的發(fā)展按照同一種模式進(jìn)行隨機(jī)增長(zhǎng)，最終必然會(huì)導(dǎo)致這些城市之間人口規(guī)模符合齊普夫法則，換言之，大城市的增長(zhǎng)速度未必比小城市慢。當(dāng)然，大城市的增長(zhǎng)速度也未必比小城市快，他們的快慢完全是一種隨機(jī)性的，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間隨機(jī)增長(zhǎng)之后，隨機(jī)效應(yīng)逐步累積，城市之間的分化就產(chǎn)生了，便出現(xiàn)了超大型城市，大型城市等完整的等級(jí)體系。他們還解釋了為什么有的國(guó)家內(nèi)城市實(shí)證結(jié)果完美符合齊普夫法則，而有的卻不是，主要差別在于有沒(méi)有新的城市產(chǎn)生，如果沒(méi)有新城市產(chǎn)生，就比較符合齊普夫法則。如果人口增長(zhǎng)過(guò)程中增量人口產(chǎn)生了新的城市就會(huì)偏離齊普夫法則。

當(dāng)然，該理論也并非無(wú)懈可擊，首先他沒(méi)有考慮到人口流動(dòng)問(wèn)題，城市人口的增量除了來(lái)自自然增長(zhǎng)部分還有人口的凈流入部分，如果說(shuō)大城市和小城市的人口自然增長(zhǎng)率滿足同一種分布特征尚且可以理解，但是人口的凈流入該如何影響城市人口分布呢？2020年兩位法國(guó)學(xué)者Verbavatz和Barthelemy在《自然》（Nature）雜志上發(fā)文稱，齊普夫法則主要是由大規(guī)模的人口流動(dòng)主導(dǎo)的，他們就按照上述的人口增長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)考慮了凈流入的人口，發(fā)現(xiàn)人口流動(dòng)對(duì)城市人口增長(zhǎng)的影響更大。其實(shí)，早在1998年，瑞士弗里堡大學(xué)的Matteo Marsili和張翼成教授就發(fā)現(xiàn)人口個(gè)體之間的社會(huì)交互是產(chǎn)生城市齊普夫法則的重要原因。

2021年德國(guó)、意大利和巴西的幾位學(xué)者提出了一個(gè)非常有意思的最大多樣性理論（Maximal diversity），他們認(rèn)為，城市人口之所以這么分布是取得系統(tǒng)多樣性最佳的一種選擇。舉個(gè)例子，假設(shè)現(xiàn)在有10個(gè)人，分布在3個(gè)城市，會(huì)有幾種分配方法？比如3+3+4、4+4+2、1+2+7、2+3+5……哪一種分配方法更好呢？他們認(rèn)為3+3+4和4+4+2的分配方案里面只出現(xiàn)了2個(gè)不同的數(shù)字，多樣性為2，而1+2+7和2+3+5有3個(gè)不同的數(shù)字，多樣性為3。因此，后兩者的分配多樣性要優(yōu)于前兩者的分配方案。因此，他們通過(guò)模仿物理學(xué)中粒子配分方法，采用數(shù)學(xué)模擬發(fā)現(xiàn)國(guó)家總?cè)丝诎凑正R普夫法則的分配方法分配到各城市能夠讓系統(tǒng)多樣性取得最大。

這些理論從不同的角度分析了齊普夫法則產(chǎn)生的機(jī)制，豐富和發(fā)展了相關(guān)的理論，但每種理論也有各自的局限性和不足，這也從側(cè)面印證了齊普夫法則看似簡(jiǎn)單實(shí)則暗藏玄機(jī)。 

三、中國(guó)城市的規(guī)模和位序符合齊普夫法則嗎？

自從奧爾巴赫1913年發(fā)現(xiàn)德國(guó)城市的齊普夫法則以來(lái)，有關(guān)各國(guó)的城市位序和規(guī)模之間關(guān)系的實(shí)證研究就汗牛充棟。筆者在Web of Science （一個(gè)英文學(xué)術(shù)文章檢索工具）中輸入Zipf’s law 發(fā)現(xiàn)從1991年到2021年研究熱度一路走高，2021年達(dá)到高峰。

圖2  在Web of Science 中檢索“Zipf’s law”歷年發(fā)表的文章數(shù)量。資料來(lái)源：Web of Science

較早之前，有學(xué)者指出行政體系主導(dǎo)的城市如蘇聯(lián)和中國(guó)的城市規(guī)模不太服從齊普夫法則，但從1995年以來(lái)中國(guó)地級(jí)市及以上的城市人口規(guī)模和位序關(guān)系看，中國(guó)城市還是基本符合齊普夫法則的，比如有學(xué)者分析了1995-2015年每隔2-3年中國(guó)城市人口規(guī)模分布，發(fā)現(xiàn)基本吻合齊普夫法則，但是相比較美國(guó)、印度等城市吻合程度略低一點(diǎn)。為此，筆者用2020年第7次人口普查的數(shù)據(jù)做了驗(yàn)證。很明顯，中國(guó)的城市分布“部分”吻合齊普夫法則，吻合的部分主要是人口規(guī)模大于500萬(wàn)以上的城市，或者排名在210名之前的，但是即使這部分吻合，其斜率參數(shù)（即B）與完美的齊普夫法則預(yù)計(jì)的-1也有明顯偏頗。頭部城市如人口最多的重慶3205萬(wàn)人，是第二位上海2487萬(wàn)和北京2189萬(wàn)的1倍多一點(diǎn)，與齊普夫法則預(yù)測(cè)的并不十分相符。反觀同時(shí)期美國(guó)的城市則非常符合齊普夫法則，連斜率參數(shù)也與齊普夫法則預(yù)計(jì)的-1相差無(wú)幾，尤其是頭部城市，比如美國(guó)人口最多的紐約人口823萬(wàn)，正好是第二位洛杉磯人口398萬(wàn)的2倍左右，是第3位芝加哥267萬(wàn)的3倍左右。

圖3  中國(guó)第七次人口普查的地級(jí)市以上城市和美國(guó)2020年城市的人口位序-規(guī)模關(guān)系
資料來(lái)源： 筆者根據(jù)第七次人口普查數(shù)據(jù)整理，美國(guó)數(shù)據(jù)來(lái)自美國(guó)統(tǒng)計(jì)局。

最后，筆者認(rèn)為齊普夫法則在一定程度上能夠解釋城市之間規(guī)模的特征，但不同的國(guó)家情況也會(huì)對(duì)該法則的普適性形成一定的挑戰(zhàn)。除了城市人口數(shù)量的齊普夫法則被發(fā)現(xiàn)，城市領(lǐng)域的很多變量都是按照齊普夫法則進(jìn)行分布，這又將涉及到城市科學(xué)中的標(biāo)度律問(wèn)題。

（作者戴躍華系上海發(fā)展戰(zhàn)略研究所博士。感謝上海財(cái)經(jīng)大學(xué)張潔同學(xué)對(duì)本文部分?jǐn)?shù)據(jù)的整理。）

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“解釋城市”專欄由上海發(fā)展戰(zhàn)略研究所戴躍華博士主持，關(guān)注城市科學(xué)發(fā)展的前沿趨勢(shì)，解釋城市科學(xué)以及城市中人類行為動(dòng)力學(xué)的一般特征和規(guī)律，探究利用前沿城市科學(xué)理論優(yōu)化城市治理的路徑和方法。