編者按：數學證明是追求可靠來源的，判斷一篇文章是否有可靠信息來源，須問良知，而良知就包括對公理的理解，如果證明命題成立的充分條件可追溯到能獲公理支持，我們就說，此證明有可靠信息來源。相反被叫不醒的裝睡者貼上“無可靠信息來源”的標簽，恰恰是“無可靠信息來源”的表現。掩耳盜鈴，用稻草人邏輯，來屏蔽真相，都是自欺欺人，殺雞取卵的行為，用武大郎開店不想招募高個的心態，來理解世界，只能維護虛假的權威，終將失去有趣的世界。分辨到底誰在妄言科學，其實不難，就看誰在真誠解決問題誰在絕望消滅問題。比如一見有人在嘗試證明未解猜想，就立馬嘲笑說是科妄，理由是官科是不會干這事的，歐拉高斯希爾伯特干不成的事，你難道行！這就是典型的用絕望消滅問題的人，完全沒有天下興亡匹夫有責的心態。今推出一篇探討哥猜證明的花絮文章以饗讀者，歡迎提建設性意見，看看命題成立的充分條件是否可追溯到能獲公理支持。

文/羅莫

1.哥德巴赫猜想的前世今生

每個大于4的偶數都可表示為兩個素數之和，即p +q=2n（p、q為奇素數，n為大于2的正整數）。這就是著名的哥德巴赫猜想，簡稱哥猜“1+1”。作為數學界久未解決的大問題，應當相當深刻，大家對此陌生才是，而中國讀者對它家喻戶曉，只因徐遲的一篇報告文學。再加上此猜想謎底雖極難發現，謎面卻極其簡單，故為此而爭吵的話題也就極多。

哥德巴赫

筆者思考哥猜問題多年，在學術雜志上已發表論文多篇，并收集在了筆者的論文專著《數學底層引擎相鄰論和重合法》一書中，2019年末由深圳海天出版社出版發行。筆者認為，要徹底弄懂它，既要閱讀專業的論文，也要閱讀花絮介紹，本文便是有關哥猜證明的花絮介紹，有利于讀者領悟證明。一旦領悟便可舉一反三，解決很多相同的問題。但在理解領悟前，我們要做些相反的動作，即先反三再舉一，需要大量列舉些跟這一思想類似的事物。那我要列舉的就是如何認知0和1，這個清楚了。奇偶關系的秘密就清晰了，質數合數之間的關系也就清晰了。接下來我們就先說說0和1。

 宇宙的精神力量來自序數，宇宙的物質存在來自基數。基數性質更多地體現在了幾何中，序數性質更多地體現在了代數中。1是至簡至繁的對象，也是至簡至繁的原初。那0是什么呢？0者，囹也；0者，另也。中國古人認為，凡同音字，都有內在的關聯意義。“零”的古字寫作“霝”，始見于商代甲骨文，原義零碎細微，近代才引申為0。“另”是“有之外”的意思，是其它存在，并不是啥也沒有。古中國與零意相同的是“無”，比古印度0，古阿拉伯0要早。把樹枝扔火里的繁體無，繁體無好多樹枝燒沒了，變成“無”。從“有”變“無”事件，古人印象最深刻的，就是森林遇到了大火。故“無”就有“存在開始前”或“存在結束后”的意思，“無”和“0”是一種結界。針對局部已有，0它啥也不是，0是無法逃逸的“囹”，針對整體大有，0是能夠逃逸的“另”，此時對象0可用另一種1作為度量單位來認知。

甲骨文“無”

數學史上的三次數學危機都是被迫對0進行重估。第一次不可公度危機。原以為線條上的點都可以用分數表達，分數之外的點都是0，不想橫空冒出個就沒法用b/a表示，a，b為整數，用歸謬法很容易證明，如果是分數會導致2因子的個數奇偶無法區分，這是奇偶悖論，本質是有無悖論。第二次數學危機，爭論微積分無窮小量到底有還是沒有，結論是，靜態無，動態有，其實就是爭論如何理解“另”和“囹”，這是動靜悖論，本質是有無悖論。第三次數學危機，爭論羅素悖論，全集是不是全集中的一個子集，這是干支悖論，祖母悖論，說謊者悖論，其本質也是有無悖論。

歐拉

“另”之0作為其它有，并不是徹底沒有；“囹”之0作為異于有，只能是啥也沒有。0在微積分里可以做除數，選擇了并不是徹底沒有，0在微積分里被忽略掉，選擇了是一種近似計算，極限就是選擇了近似計算，是相對性啥也不是，并不是絕對性啥也不是。也就是說要承認微積分是近似計算，才能化解第二次數學危機。解決第一次數學危機，須引進新符號表達新對象，才能化解無理數不可公度危機。也就是說，執意要公度只能取近似計算。第三次數學危機的化解，也是需要引進新符號表達新對象，哥德爾證明有限的符號體系是無法表達另類新對象的，從這一點“囹之0”來說，哥德爾的證明沒錯。可是“另之0”的一面也就被封閉了。類比思維，近似計算，可刻畫“另之0”的一面也就擱淺了，用無限開放的新符號完成精準表達更是被擠兌得無影無蹤。

哥德爾

哥德爾雖然打開了一扇窗，無意中關閉了其它所有窗。包括“可開放理解公理體系”的這扇窗。哥德爾的不完備定理，選擇了封閉理解公理體系，如果我們的公理體系是可遞歸生成新符號的，那么我們就可以用遞歸生成的新符號表達新對象。在羅素悖論中，通過定義新“同時”，理發師是可以一會兒給自己理發，一會兒不給自己理發，不在同時中完成相反命題就不會有悖論。這樣雖然沒有添加新公理，但我們可以通過高階理解已有公理來升級已有公理，如此我們就可以實現用新符號表達新對象的意圖。“徹底沒有”是對0的一次認知選擇，但不是唯一選擇。數學要發展，就需要重估“0”，不僅可選擇理解0為“徹底沒有”（囹之0），還可選擇理解0為“另一存在”（另之0）；不僅可選擇理解“無”為“徹底荒蕪”，還可選擇理解“無”為“忽然覺悟”，即必有新意生成。

 把以上表達總結下，就是序數1和基數1，是表達已知世界的關鍵，另之0和囹之0是表達未知世界的關鍵。序數1是相鄰論（萬物有序）在已知世界中的顯現，基數1是重合法（眾生平等）在已知世界中的顯現；另之0是相鄰論在未知世界中的顯現，囹之0是重合法在未知世界中的顯現。以上雖不是證明猜想的文本語言，但明白這些數感思想，是可理解本文作者完成哥猜證明的密鑰。我們只知道時間屬于空間，卻不知道空間也屬于時間，屬于一種先天時間，既有第四維的時間，也有第一維的時間，愛因斯坦的時空觀，時間是第四維的，殊不知還有時間是第一維的時空觀。以下就來回顧下哥德巴赫猜想的前世今生。

希爾伯特

 王元在南開大學的一次談話中提到“1+1”與陳景潤的“1+2”不是一回事。世界數學共同體尚未公開宣稱過誰誰誰已完成證明了哥猜。但這并不等于世上真的就無人能證明哥猜了。非常幸運，筆者誤打誤撞叩開了哥德巴赫猜想的神秘大門。當然是否正確，就交給各位看官了。其實聲稱完成證明了一個猜想的人并不多，邏輯是可以自明的，因為反對邏輯還得使用邏輯，將一個錯誤的觀點廣而告之，絲毫沒有意義。政治和經濟發表虛假觀點，尚可獲利，數學證明作假則毫無用處，發表沒有把握讓人理解的東西，真是小概率事件。為了讓更多人明白，得花時間和腦力去說服世界數學共同體充分理解哥猜證明，才能讓數學發現具有社會意義。否則有識之士誰都不進行科普耕耘，哥猜獲證的思想走進普羅大眾的進程會非常漫長。

 數論是研究整數的學問，初等數論是純數論，即算術數論，不要以為初等兩字就比解析數論、代數數論以及幾何數論淺顯，它們都可以在各自的領地蓋高樓，哥德巴赫猜想是純數論問題，不是解析數論的直接領地，但不是說數學分析就不能在數論領域出活，歐拉開辟了解析數論，發現了很多精彩的數論思想。只是用代數數論、代數幾何以及幾何數論攻克哥猜，要比解析數論更能精準打擊目標。從哪里跌倒就從哪里爬起來，才是最優化的選擇。追溯哥猜原題可知它是算術數論，唯有從純算術角度攻克哥猜才是成本最低的。 哥德巴赫，1690年出生于德國，后來定居俄國。他擔任十幾歲的沙皇彼得二世的家庭教師，后來擔任俄國科學院院士，他與瑞士大數學家萊昂哈德﹒歐拉（1707——1783）交往甚密，兩人不斷相互提問和解答，許多重大問題就是兩人在彼此“微信”中提出的。例如：整系數多項式的質數問題。二質數平方和的約數問題。而超級難題——哥德巴赫猜想，亦在其中。

 但也有人在早一個世紀的笛卡爾文集中發現證據，那時已有哥猜問題。只是數學界習慣于把哥德巴赫猜想的發現權歸功于十八世紀德國的哥德巴赫。哥德巴赫只發現了相對較容易的三素數哥猜，二素數哥猜是歐拉在三素數哥猜的基礎上發現的，而笛卡爾發現的哥猜，也是二素數哥猜。兩個大數學家的數學發現都非常豐碩，用不著跟哥德巴赫搶功勞，況且該猜想確實是哥德巴赫獨立發現的，歐拉的發現也是在哥德巴赫的三素數問題下誘發出來的，所以發現權歸功于哥德巴赫不為過。 1742年，哥德巴赫向比他小17歲的歐拉寫信，因為他考察了幾十個偶數：6=3+3，8=5+3，10=5+5，100=47+53，……注意到，凡是大于4的偶數都可以表示成兩個奇素數之和。他問歐拉，是否所有的偶數都可以用這種形式表示？可是譽為“分析的化身”的大數學家歐拉被哥德巴赫的挑戰挫敗了。 

圖靈

在當今計算機時代，這個猜想越來越著名，已經發現，100億以內的偶數都是正確的。當然靠這樣的暴力枚舉是證明不了哥猜的。哥猜命題用方程表示即p+q=2n，它從左向右看，沒有問題，所有的奇素數都是奇數，兩個加起來當然都是偶數，問題是命題從右向左看，是不是每一偶數都可以分割成兩個奇素數呢？一個一個枚舉，符合要求，但要全部枚舉完，顯然不現實，它只能靠邏輯來解決。哥德巴赫猜想是對人的智力一種挑戰，能否突破它是對人類自信心的考驗。而哲學的匱乏是不利于從根本上解決該問題的，后文將提到，哥猜原來與陽明心學“心外無物”是同一個命題。哥德巴赫本人萬萬沒有想到，他的問題讓兩百多年來的人類精英絞盡腦汁，索遍枯腸。多少代仁人志士憚精竭力的努力一次又一次地化為泡影。甚至有數學家愿意出賣靈魂來交換猜想獲證。還有數學家說，假如500年后可以復活醒來，第一件最想問的問題就是，哥猜和黎曼假設解決沒有。

哈代

哥德巴赫在1742年留下的千古難題，其實早在17世紀，“我思故我在”的笛卡爾就已思考過它，在18世紀，世上幾乎所有的最偉大的數學家都試圖證明過它，絕冠古今的德國數學家高斯玩味過它，數學之神瑞士的歐拉更是深刻地打撈過它，在法國執牛耳的拉格朗日和天才的勒讓德，都是一愁莫展，束手無策。斗移星轉，在整個19世紀中，愛因斯坦相對論中的數學基礎的創始人德國的黎曼，集合論創立者康托爾及狄利克雷，法國的阿達馬（證明素數定理），劉維爾（證明超越數的存在），也思考無果，想必伽羅瓦也琢磨過，俄國的切比雪夫，維拉格拉朵夫……一代又一代天之驕子敗下陣來，人困馬乏，哥德巴赫猜想仍然固如磐石，誰也奈何不得。想用自然數去次第映射素數的思想，幾乎是所有數學家的想法，偏偏此路不通。

 在進入20世紀之初的1900年，德國萬能的數學大師希爾伯特在巴黎召開的國際數學家大會上，提出了著名的23個尚未解決的世界難題交給了新世紀的科學家，把哥德巴赫猜想列入了第8個問題之中。由于問題的困難性，人們普遍表示悲觀，德國的數學家朗道1912年認為，這是現代數學所不能企及的。其實那時的凱萊已發明線性代數，希爾伯特已將內積的思想闡釋非常深刻，諾特已將抽象代數延伸到到了數學各個領域，攻克哥猜的數學工具已然成熟，只是大家沒有朝“那個”方向去想，沒有獲得原來如此的真相。

 1920年，挪威數學家V.布朗采用逐漸靠近的方法，把哥德巴赫猜想中的兩個素數改為合數，成為“不超過n個素數的乘積”，他自己首先證明了“9+9”，注意，這里的“9”不是固定的9，而是從1到9，可以是1，2，3，…，9。但不超過9，稱之為“殆素數”，意思是很像素數。后來的數學沿著這樣的思路，取得了一系列的進展，但距離真正拿下哥猜相距甚遠。

山東大學校長潘承洞曾證明了”1+4”。中科院院士王元曾證明了“2+3”。 1966年陳景潤證明了“每個大偶數都是一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和（簡稱“1+2”。此事被國際數學界注意后，也引起了毛澤東主席和一批中央領導的重視。使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界領先地位。這一結果被譽為“陳景潤定理”。這項工作還使陳景潤與王元（中國科學院數學研究所長，院士），潘承洞（山東大學校長，院士）在1982年共同以“哥德巴赫猜想”的名義，獲得國家自然科學一等獎。 1996年3月19日13時，陳景潤院士因為帕金森氏病搶救無效離開了人世，中央政府，社會團體及新聞媒體給予了他極高的評價，幾乎所有報刊和電臺都進行了報道，中央領導人和人民群眾自發地送了花圈，以悼念這位科學界的楷模，青年知識分子心目中的偶像。1977年作家徐遲的一篇報告文學《哥德巴赫猜想》引起了轟動，該文為迎來中國科學的春天吹響了號角，當時遭文革重創大量被打趴下的知識份子開始起身站立。很多人有哥猜情結就發軔于該文。學好數理化，走遍天下都不怕，開始在社會上流行。

陳景潤1933年5月22日出生于福建省福州市，1953年畢業于廈門大學數學系，由于他對塔利問題的一個結果作了改進，受到了華羅庚教授的重視，被調到了中國科學院數學研究所工作。先擔任實習研究員，助理研究員，再提升研究員。后當選為中國科學院數理學部委員“院士”。60年代，他對篩法及其有關重要問題進行研究。

陳景潤

但陳景潤從未聲稱自己證明了“1+1”，而是證明了“1+2”，是哥猜的一個弱猜想，也沒有說弱猜想距離真正的哥德巴赫猜想僅有一步之遙，因為不是同一級別的問題，沒有找到階梯和度量單位，描述遠近毫無意義。陳景潤自認為，用他目前的工具破解不了哥猜，騎自行車上不了月亮，可見弱哥猜與哥猜原題不是一步之遙的問題。僅看文藝作品了解學術問題的人推波助瀾，解讀不準，誤以為哥猜已獲破解或接近破解。這完全不是陳景潤想要竊取榮譽，而是輿論強加于他的。 陳景潤定理的“1+2”結果，通俗地說是指：對于任給一個大偶數，那么總可以找到奇素數p1和奇素數p2或兩素數構成的奇合數p2·p3，使得下列等式成立：n=p1+p2·p3（合數中的兩因子或可僅取一個）。

 陳景潤定理在數論中依然是很有意義的，不象某些人所批評的那樣，中國數學界在搞偶像造假。英國的數學家哈代和李特爾伍德將命題從另一角度進行簡化，將偶數n表示成若干個素數之和，n=p1+p2+p3+......+pn，從1930年到1976年把80萬個素數逼近到6個素數。作出努力的有蘇聯，德國，意大利，美國和中國的科學家，但這并不是哥德巴赫猜想，因為素數個數只有是2時才是哥德巴赫猜想。但也不是勞而無功，以此可以窺探到一些素數性質，有利于找到新的思路。事實上，從加項數逼近比從因子數逼近要有意義得多。哥猜問題的本質是加性數論，所有的高級運算都是從初級運算出發的，因此高級運算的特征，都濃縮在加法運算中，數學家每次對加法有新的認知，數學發展就會向前邁進一大步。 

黎曼

2. 哥德巴赫猜想的完美證明

凡事知其然，就一定能知其所以然。像這樣的哥猜懸案，探索了幾百年而無果的，只有費馬猜想有的一拼，它們均出自十七至十八世紀的法國。哥猜之所以名氣大，一是題面簡單，小學生都能看懂，二是關心過它的數學家多，十八世紀以來幾乎一流的數學家都思考過它，三是問題根本，它跟很多命題相關，哥猜若解決，一大堆丟潘圖問題就都能迎刃而解了。

 可是名氣大，是把雙刃劍，即吸引了數學家去關心它，但也把一些高端數學人士嚇走了。有些數學教授就公開說，若有數學愛好者向我提交哥猜這樣的論文，我是不會看的，別的論文我會接過來審讀。為何會有這樣的消極態度呢？因為碰到的大都是把命題變弱的哥猜論文，如陳景潤的1+2，自稱把哥猜原題拿下的很少。數學家都不想耽誤時間，于是就分成了兩大派，一是，知其難而退的人，會謝絕審讀這樣的論文，自己也不會花時間去研究；二是，知其難而想解決問題的人，因為自己沒解決，故常會輕視同行的研究，尤其是社會地位不及自己的，更是不屑一顧，有這樣的稿件過來都會棄之紙簍。這是正常的選擇，避開做小概率事件，跟學術道德無關。這個是有先例的，連柯西和高斯這樣的數學大成就者，一樣把伽羅瓦能開創現代數學的群論文章，看也不看就當垃圾處理。因此哥猜名氣大，并沒有催生出金蛋來。

 好的數學思想，要走科普的道路，我們寄希望于好學的數學工作者，有朝一日能看懂，尋找大咖認可極其困難。假如伽羅瓦的文章不是被好友發在三流的刊物上，劉維爾就無法發現到它，現代數學的產生就要推遲百年。佩雷爾曼當年證明龐加萊猜想的論文也是發在預印本上，然后才被數學共同體接受的，也都是第一時間不能找到同行權威認可，不得不走曲折傳播的道路。有意思的是數學發現者幾乎都不約而同地選擇了，順其自然的科普方式，先讓有緣人去閱讀它，說不定哪天就能讓數學大家看見。即便數學大咖沒看見，有同行看懂就行。因此去中心化的思想是偉大的，它能讓新生事物有一席之地，并能獲得包容性成長。如今哥猜證明出來了，但僅在小范圍內科普。

 本文作者通過化約偶數分割方程，經數乘逆運算或叉乘逆運算得到不可約整系數多項式方程，可知奇數互素解集是偶數分割方程的本原解；經點乘逆運算得到無合數整系數多項式方程，可知素數基礎解系是偶數分割方程的簡單本原解。由于可表偶數的定義表達就是簡單本原解，故與可表偶數互補關系的例外偶數就一定是空集，從而證明了二元加法運算在可表偶數上封閉。由于此引理獲證，可多米諾骨牌式地解決哥德巴赫猜想、齋藤猜想、孿生素數猜想、波利尼亞克猜想、莫德爾猜想、費馬猜想、比爾猜想、abc猜想、奧波曼猜想和黎曼猜想等難題。

 如何將證明可以向大眾講清楚呢？這么說吧，只要數學史學到希爾伯特那就可以理解哥猜證明了，哥猜是希爾伯特向新世紀的數學家提出的23個數學難題中的第八個問題，其實用希爾伯特的數學思想就足以證明哥猜。真是解鈴還須系鈴人啊。希爾伯特要是能醒來看到哥猜證明，會撲哧一笑的，原來數學家一直在騎驢找驢呢！希爾伯特的內積思想太偉大了，后文將用此思想解決哥猜。

 所有的兩奇素數相加都可以得到偶數，這個沒問題，所有不小于8的偶數都能分割成兩個不同的奇素數，這個就不好說，萬一有一例外呢？好吧，那就假設有例外偶數是不能用兩不同奇素數成功分割的。現在好了，所有不小于8的偶數就分成了兩大部分，一是能夠用兩不同奇素數相加之和（或相減之差）表達的偶數，叫可表偶數，另一就是不能如此表達的，叫例外偶數。它們的并集是不小于8的全集偶數（先只討論加法可表偶數，減法亦同，后文省略）。而小于8的偶數我們單個討論，6可以3+3獲得，但非不同的奇素數，4可以2+2獲得，也非不同的奇素數，且還是偶素數，2可以1+1獲得，但1即不是素數也不是合數。所以我們僅從8開始討論所有偶數。

 各位看官，注意到沒有，咱不是避重就輕改頭換面去證明哥猜弱猜想，然后由農村包圍城市。咱是反過來，避輕就重，打不贏連長，就挑戰營長，打不贏營長，就挑戰團長。歐拉型的哥猜不好證明，咱就去證明比歐拉型哥猜更根本的問題。而互素型哥猜，就比歐拉型哥猜根本得多，歐拉型哥猜對兩素數是否相同，不限制，互素型哥猜必須兩素數是不一樣的，顯然難度加大了，互素型哥猜成立，歐拉型哥猜就成立，但歐拉型哥猜成立，互素型哥猜未必成立。就像1+1與1+2一樣不是一回事，但1+1成立，1+2就成立，反之則推不出。本文證明，是直奔互素型哥猜而去的。

 所有不小于8的偶數都可以至少用一對不同的奇素數之和表示，這就好比用偶數表示人類的這一代所有成員，那么每個人類成員都可以找到自己相匹配的上一代用奇素數表示的一對父母，當然還可以找到更多的養父養父。每個不小于8的偶數都有一對共軛差最小且不為0的奇素數對，這就好比人類成員都有對應的上一代父母。證明哥猜，就相當于證明人類每個成員都有一對父母，即單親繁殖和多親繁殖是不存在的。如果真有單親繁殖，一定是隱性包含了血緣雙親，如果真有多親繁殖，一定是隱性包含了養父養母和雙親，即無父無母的生命是找不到的，證明哥猜就是證明這個思想，就是證明例外偶數是空集，即所有不小于8的偶數都是可表偶數。

 證明例外偶數是空集的思想，就是證明心外無物，就是證明沒有父母就沒有人類，就是證明沒有內涵就沒有外延。凡價值對象經區塊鏈保證都能成為比特幣，這一點沒問題，是不是所有的比特幣都是由區塊鏈點對點生成的呢？哥猜就是要證明，脫離區塊鏈點對點生成的比特幣是不存在的。凡有價值的對象皆有底層映射。你想不效忠底層映射都不行，因為機器信用會幫助你效忠。沒有點對點私密支持的合約是不存在的。

 用數學語言表達就是，“二元加法運算在可表偶數上封閉”。該命題可用偶數分割方程的素數基礎解系和通解之間的內積運算獲得證明。尤其是可表偶數和例外偶數與素數基礎解系之間存在著一榮俱榮一損俱損的緊密關聯。可表偶數與例外偶數的互補定義，決定了例外偶數無素數基礎解系，例外偶數的通解也就成了空集。而可表偶數就責無旁貸地囊括了全集偶數的通解，從而證明了可表偶數的數乘封閉，即二元加法運算在可表偶數上不存在數域擴張和數域縮減。

 該引理獲證，可解決哥德巴赫猜想、齋藤猜想、孿生素數猜想、波利尼亞克猜想、莫德爾猜想、比爾猜想、abc猜想、奧波曼猜想和黎曼猜想等難題。現證明如下：

 2.1.把任意整數分割為兩個不同整數的三元方程化約為互素方程.

 所有大于3的等量連接都可以用不等量連接來優化構造。等量連接和不等量連接之間的轉換關系是理解萬物的樞紐。

 于是就有了素數的定義：除1和自身外不能被其它整數整除的數叫素數。雖有循環定義之嫌，但還是刻畫了素數的本質。這里補充另一個更精準的定義：除用1外不能用其它整數等量分割的數叫素數。可以不等量分割的數未必是素數，素數是僅能不等量分割的數，除用1外。前者用乘法的逆運算定義，后者用加法的逆運算定義。有了對素數的更深理解，我們再來考察整數。本文的運算對象，除特別說明外，皆在整數范圍內。

 有人認為哥猜表達式很怪異，素數是用來乘的，不是用來加的，而素數的新定義是加法定義的，原來素數性質也體現在加法功能中。素數是不等量分解的產物，也是不等量分割的產物。這個思想是找到素數之礦的挖掘機，有了這個思想的靈光一現，于是就產生了整數的不等量分割方程，這直接導致了哥猜的破解。

 可見如何對事物下定義對成功解決問題是多么重要。本文不是證明哥猜的學術論文，相關學術論文已發表在《深圳基礎理論原創文集》（數學物理卷）（海天出版社2017年5月出版）以及其它學術雜志和預印本上。本文不是干貨，是水貨，允許啰哩啰唆地表達，只求讀者最后能理解。帶點情感表達，讀者更容易明白，閱讀完美的干貨不容易看懂，因為輔助線都被作者完工后涂掉了，其實讀者更喜歡那些不“過河拆橋”的作者，好知道每個環節的來源。而某些引理已看懂的讀者自然會選擇跳讀。好了，現開始進入正題。

 對整數c進行不等量二元分割，便產生了較大的a與較小的b,于是有了三元方程a+b=c，分割后有四種組合，偶+偶=偶，奇+偶=奇，奇+奇=偶，偶+奇=奇，化約該方程，得到奇+奇=偶，或奇+偶=奇，移項得到奇-奇=偶，即兩類情形，其中三元互素。故整數分割方程的通解就是兩互素的奇數之和等于2n，或兩互素的奇數之差等于2n。兩個方程都能得到偶數通解和奇數通解。于是討論偶數分割就解決了整數分割。

 也就是說，可用非1的等量分割所有的2n。若n是偶數，針對兩個n通過減1加1或加減其它數，即可完成對2n的不等量分割，其中n大于3；若n是奇數，針對兩個n通過減2加2或加減其它數，即可完成對2n的不等量分割，其中n大于3.總之，每個不小于8的偶數都可以用兩個不同的互素奇數分割。

 以下是三元方程2n的通解表達：

p1^a1p2^a2p3^a3......pi^ai k+ q1^b1q2^b2q3^b3......qi^bik=2n（當非互素時有共因子k，2n為不小于8的全體偶數，p為素數，a為正整數）。

然后會得到三元方程2n的本原解表達：

 ap+bq=2n（即方程兩邊進行數乘逆運算或叉乘逆運算把上式變為不可約多項式方程，就是將整系數多項式方程約掉公因子或公因式）。

 （其中p、q為互素的奇素數，a、b為互素的自然數，n為＞3的全部自然數）

每次令第一項與2n互素，必三元互素，否則有分數，這與差值必有整數解矛盾。

故2n的分割方程其本原解全集就是本原解方程中的2n項自身，與原方程右邊2n的全部解集一樣，未發生數域擴張或數域縮減。

 因n與2n之間定有大于n的新素數（伯特蘭定理），故每個偶數都可以分割為兩個互素的奇數項相加。

 每次2n減去該新素數p所得到的奇數差值bp必與該新奇素數互素。因為新素數p與2n互素，就必與差值互素。新素數p為何會與2n互素，因為奇素數p大于n，所以2p大于2n，即p乘以任何整數也不能等于2n，故2n會與p互素。2n-p=bq，2n必與bq互素。

 總之，每一個偶數都能成功地分割為兩個互素奇數之和或兩個互素奇數之差。保證了原分割方程2n的本原解解集也是偶數全集。即ap+bq=2n或ap-bq=2n，其中p、q屬于所有奇素數，n屬于大于3的所有自然數，a、b屬于所有自然數，a=1，p＞bq時，大于等于8的每個偶數2n至少各有一組互素奇數的分割解。

 本原解方程的表達雖沒有唯一性，但表達本原解的全集方程具有唯一性。重要的話，不怕再啰嗦一句：不小于8的全體偶數都可以分割成互素的奇數之和。這是偶數分割方程的本原解方程，也就是說，偶數分割方程的通解方程與偶數分割方程的本原解方程，存在著一一對應的關系，偶數的通解表達式可以線性映射到偶數的本原解表達式上。

 得到這個結論是非常重要的，雖然這個結論用陳景潤定理也可以推理出來，但僅在充分大的前提下推得，不像本文推得的結論，是在不小于8的偶數范圍里成立的，因此本文推理得到的結論更強。這意味著每個偶數都可以分割成互素的兩部分，踏上了最后能分割成兩互素的奇素數之和的道路。不等量分割是從加性的角度尋找素數的方法，這個思想非常重要。

不難證明它們是同構映射關系。

 因為偶數的通解表達式映射到偶數上是同態的，偶數映射到偶數的本原解表達式上也是同態的，故偶數的通解表達式映射到偶數的本原解表達式上也是同態的。（傳遞性法則）

另外，偶數的本原解表達映射到偶數上是同態的，偶數映射到偶數的通解表達式上也是同態的，故偶數的本原解表達式映射到偶數的通解表達式上也是同態的。（傳遞性法則）

故偶數通解和偶數本原解之間是同構關系，是一榮俱榮一損俱損的。這就意味著找不到本原解就找不到通解，找不到通解就找不到相應的本原解。

 2.2.再把全集偶數2n分割得到的本原解方程化約為簡單本原解方程.

 由于本原解三元方程，大家都比較熟悉，上文沒有對本原解三元方程的定義加以說明，這里補充說明下，整系數三元互素的方程就是本原解三元方程，而有公因子或公因式的整系數三元方程就是通解三元方程。2.1證明了，三元通解方程與三元本原解方程是同構表達不小于8的全體偶數的。

 接下來，我們來定義兩個新概念，就是簡單本原解三元方程和最簡本原解三元方程。先定義下簡單本原解整系數三元方程，偶數的簡單本原解表達式是由原來的偶數本原解表達式而來，在本原解表達式的基礎上，方程左邊二元多項式各元僅保留一個奇素數，方程右邊單項式偶數變為可表偶數（即例外偶數是可表偶數關于不小于8的全集偶數上的補集），也就是奇素數與奇素數加減得到可表偶數的方程，叫偶數的簡單本原解三元方程。再說說最簡本原解三元方程，偶數的最簡本原解表達式是由偶數的簡單本原解表達式而來，在簡單本原解表達式的基礎上，方程左邊二元多項式繼續分解化約，最后各元僅保留一個奇素數，方程右邊單項式偶數由原來的可表偶數變為僅有一個奇素數因子一個偶素數因子的可表偶數，也就是奇素數與奇素數加減得到奇素數的2倍，叫偶數的最簡本原解三元方程。

 由ap-bq=2cm=2n或ap+bq=2cm=2n 可知，三元方程增廣向量（p、-q，-2m）或（p、q，-2m）與向量（a，b，c）T是一對正交基，（a，b，c）T為線性無關組。故增廣向量（p、-q，-2m）或（p、q，-2m）為線性相關組（其中a，b，c為所有正整數）。也可以說，2n可由素數向量組（p、-q）或（p、q）線性表示。一對正交基有可能都是線性相關的，有可能都是線性無關的，也有可能一個線性相關，一個線性無關。但2n分割方程在素數基礎解系的內積分解中，向量（a，b，c）T都是正數，肯定是線性無關的，向量（p、-q，-2m）或（p、q，-2m）有正有負，且奇數加奇數是一定會等于偶數的，故存在線性相關。素數基礎解系向量組（p、-q）或（p、q）是線性無關的，但素數基礎解系增廣向量組是線性相關的。只有基礎解系增廣向量組是線性相關的，才可做原方程的簡單本原解方程，而基礎解系的增廣向量組未必都線性相關，如向量（p、-q，-2），除非p、q的奇素數域可包含單位素數1，僅限于特殊偶數4、6可用單位素數1來進行不等量分割表示，其中唯有特殊偶數2，無法完成不等量分割。

 還已知，用兩素數相加所得到的偶數定義為廣義可表偶數。如，2+2=4，3+3=6，3+5=8等，其中4，6，8就是廣義可表偶數。這里的2為偶素數，3+3為相同的奇素數相加，以上兩例皆屬非互素二元相加，而3+5=8才是互素的二元相加。我們把兩個不同的奇素數相加所得到的偶數，定義為狹義可表偶數，表達式是：

 p-q=2m或p+q=2m（?奇素數p、q，且p≠q，?正整數m≥4）；這里所說的可表偶數，一般特指兩素數相加或相減所得到的可表偶數。從p-q=2m或p+q=2m可知，2m數乘c可還原等于2n，即2n的通解是2m被c數乘，2m是本原解方程、也是原方程的素數基礎解系，其中p、q為奇素數，即用兩素數分割可表偶數的方程就是大于6的所有偶數2n的簡單本原解方程。

 由于可表偶數的定義就是可用兩互素的奇素數之和或之差表示的偶數，故p-q=2m或p+q=2m就是可表偶數方程，不能用該兩奇素數之和形式表達的偶數，叫例外偶數。

 也就是說，系數向量（a，b）T為（1，1）T時，可表偶數方程p-q=2m或p+q=2m就是通解方程ap-bq=2n或p+q=2m的素數基礎解系方程；同樣，原偶數分割方程ap-bq=2n或ap+bq=2n就是素數基礎解系方程p+q=2m的通解方程。2n向量存在由素數向量組線性表示，是素數向量組的線性組合，正整數向量（a、b）為組合系數。

 為何不小于8的全集偶數一定有素數基礎解系方程，即素數基礎解系的增廣向量線性組是線性相關的，因為奇素數加奇素素一定是偶數，該偶數至少是全集偶數的子集，而根據算術基本定理，偶數的本原解子集經數乘可還原得到不小于8的偶數全集，故一定存在素數基礎解系方程。從偶數全集到偶數的子集，從偶數子集到偶數全集，在偶數分割方程中簡化和還原互為逆運算。

 此時系數向量為（1，1）T，它就是2n的簡單本原解方程。分量2n/c（可被c整除時）或2nc即2m可由素數基礎解系向量（p、-q）或（p、q）的兩個分量之差或之和表示，這就是關于2n分割方程的簡單本原解定義。可見有通解就一定有本原解，有本原解就一定有簡單本原解。那例外偶數作為偶數的一種，也必然存在簡單本原解，即2m’c或2m’/c理應可由素數基礎解系向量（p、-q）或（p、q）的兩個分量之差或之和表示，同時2m’c∈2m’，2m’/c∈2m’，是例外偶數范疇中的簡單本原解。

 表達偶數簡單本原解（即素數基礎解系）的三元方程沒有唯一性，表達偶數簡單本原解的三元全集方程具有唯一性；表達偶數通解的三元方程沒有唯一性，表達偶數通解的三元全集方程具有唯一性。其簡單本原解三元方程規定，左邊兩項為奇素數，右邊一項為可表偶數。

根據可表偶數的定義可知，偶數分割方程的本原解方程，即所有奇素數兩兩互素相加所得的和2m，就是可表偶數方程。2m’為不同于可表偶數的例外偶數，那2m就是偶數2n分割方程的簡單本原解。 2m’根據定義則不是。

 重要的話，不怕再啰嗦，特此聲明：不小于8的全集偶數都有且必有簡單本原解，經線性映射而得到。

 2.3.例外偶數2m’不存在最簡本原解，無互素對之和可表2倍素數.

 根據全集偶數是一定有簡單本原解的判定，可知2m’也一定存在2m’/c=p±q或2m’c=p±q，如此這般的簡單本原解，其中2m’c或2m’/c必須屬于2m’，因為作為任意偶數2n除以c或乘以c后得到2m是一定有簡單本原解的，但2m’作為非可表偶數，沒有簡單本原解，其除以c或乘以c后所得到的2m’的子集也就肯定沒有簡單本原解。因為通解是簡單本原解的充分條件，是單同態的，簡單本原解是通解的必要條件,是滿同態的，兩者是單滿射的同構關系。例外偶數作為通解沒有本原解是可表偶數，也沒有簡單本原解是可表偶數。例外偶數的定義是，偶數中的非可表偶數，叫例外偶數，2n=2m∪2m’，2m∩2m’= ?。思考可表偶數與例外偶數是解決哥猜問題的關鍵。

 其中可表偶數方程就是全集偶數方程的簡單本原解方程，它的簡單本原解就是素數基礎解系，刻畫全部偶數的奇數一般解集是原方程通解。經過數乘逆運算或叉乘逆運算化約后得到不可約多項式方程，刻畫全部偶數的奇數互素解集是本原解解集；經過點積逆運算化約后得到無合數多項式方程，刻畫全部偶數的素數基礎解系是簡單本原解解集。

 可表偶數關聯定理：偶數通解解集確定的三元方程有且僅有相應數乘線性映射而確定的偶數簡單本原解解集.

 莫小看這個命題，它可得到很多驚悚的結果。這個命題的證明是這樣的，在三元方程a-b=c或a+b=c中，a＜b＜c，不論c是奇數還是偶數，必存在a≠b，因a=b時就會合并為非三元方程，況且前文還證明了凡等量分割皆有不等量分割的等價形式。既然c有不等量分割的通解，經化約后a、b必有不同的素因子，而有不同的素因子，就相應地有互素的本原解解集，即a-b=c或a+b=c等價于kx-ky=kz或kx+ky=kz，其中x、y、z三元互素，k為正整數，x-y=z或x-y=z就是a-b=c或a-b=c的唯一本原解方程。有本原解解集就必有簡單本原解解集，因為方程每一項的合數都含素因子。于是定理“一個有通解的三元整系數方程必有簡單本原解解集”就得到了證明，它的逆命題也成立，因為整數分割方程是左右同構的，化約后的本原解方程也是左右同構的，其簡單本原解方程即可表偶數方程也是左右同構的，故有唯一簡單本原解解集就有唯一本原解解集，有唯一簡單本原解解集就有唯一通解解集。可見本原解方程與簡單本原解方程是同構命題。

 進一步可知，有簡單本原解解集就必有最簡本原解解集，兩類方程也是同構命題。因為素數基礎解系的增廣項可通過內積逆運算提取出奇素數因子，直到僅剩下一個奇素數因子，即素數基礎解系的2w增廣向量組就是最簡本原解解集。于是我們得到一個推論，即可表偶數關聯定理：“通解解集確定的三元整系數方程有且僅有相應數乘確定的最簡本原解解集”。

 整數分割方程各項都有素因子就可進行點積逆運算，得到一組含素數基礎解系增廣向量的正交基，當該增廣向量含一個負偶數分量時，必線性相關，就能得到素數基礎解系方程，而素數基礎解系為最大線性無關。即 x-y=z或 x+y=z等價于rp-sq=t2w或rp+sq=t2w，其中p、q、w三元互素，r、s、t為正整數，且p、q皆為所有奇素數，2m為可表偶數，即里頭的偶數可以二元分割出所有的奇素數，p-q=2m或p+q=2m就是x-y=z或x+y=z的簡單本原解方程。當m僅為奇素數w時，存在p-q=2w或p+q=2w就是x-y=z或x+y=z的最簡本原解方程。（p,-q）也叫原偶數分割方程的素數基礎解系。有了最簡本原解方程，就可以反過來探知可表偶數的更多性質。

 因為根據算術基本定理，通解必是各元最簡本原解的數乘組合以及內積組合，或者說是叉乘或點乘的組合，叉乘包含純量數乘，由于乘法須滿足交換律和結合律，故數乘、叉乘和點乘僅在各組相乘素因子定義域的交集范圍里才成立，比如說最簡本原解中w范圍里不允許有的素數，數乘t中也不能含有。在最簡本原解方程的基礎上通過點乘就可得到簡單本原解方程，即可表偶數方程。

 通過可表偶數方程p-q=2m或p+q=2m的定義可知左邊包含所有的奇素數，右邊是否全部包含所有奇素數因子，還暫時無法判定，從左到右的素數域還只知是同態關系。簡單本原解方程的更多性質是通過最簡本原解方程的性質來獲悉的。

 從最簡本原解方程可得到，素數基礎解系2倍的素數增廣項，繼而推論出，素數基礎解系方程p-q=2w或p+q=2w中，w一定包含了所有的奇素數。

 我們已經證得所有偶數集2n定能可窮分類為可表偶數與可表偶數的數乘兩部分，因為偶數分割方程右邊偶數部分的簡單本原解解集2m≠｛2，4，6，2n+1｝，所以簡單本原解2m無論乘以多少非1的自然數都無法獲得2w。而根據簡單本原解的推理結論2n=2cm，除非2m的數乘2cm，其中c為單位素數1時，2w是2n的子集；c取非1時2w不存在，故2w∈2m，w就一定包含了所有的奇素數因子和偶素數因子以及單位素數因子,否則2n就不能囊括所有偶數，由此證明了所有的2w都不是靠2m與非1數乘所獲得的數。這就證明了可表偶數方程p-q=2m或p+q=2m（p、q為奇素數，m大于3）中的左右奇素數因子域不僅是單同態關系，還是同構關系，因為可表偶數2m中2p囊括了所有的奇素數因子。由此我們知道簡單本原解方程中的各元數乘和點乘值域可取奇素數因子全集以及偶素數2來獲取通解。這一結論很重要，因為方程的化約和還原運算都是在交換律和結合律的前提下進行的，如果無法判斷方程左右的素因子域，通解與最簡本原解之間通過系數的解集變換就無法進行下去。

 無最簡本原解，即無素數基礎解系2w增廣向量組（p、-q、-2w）或（p、q、-2w），也就無簡單本原解2m增廣向量組（p、-q、-2m）或（p、q、-2m）和本原解z增廣向量組（x、-y、-z）或（x、y、-z），也就無通解c增廣向量組（a、-b、-c）或（a、b、-c）。可見素數基礎解系是偶數分割方程獲得全部通解的必要條件。定理“偶數通解解集確定的三元整系數方程有且僅有相應線性映射確定的偶數最簡本原解解集”獲證。

 2.4.例外偶數2m’的簡單本原解解集是空集，其通解解集也是空集.

 有了以上概念，就可以理解以下關鍵證明了。既然例外偶數2m’是自定義選擇了怎么也沒有簡單本原解，它通過內積逆運算也就無法獲得唯一最簡本原解，即形如方程p+q=2w或p-q=2w的解集，就是最簡本原解，其中p、q、w皆為奇素數全集,它的數乘也就自然沒有簡單本原解，即形如可表偶數定義方程p+q=2m或p-q=2m的解集,就是簡單本原解，其中三元皆含奇素數因子全集。例外偶數的最簡本原解、簡單本原解以及本原解也就依次不存在。既然例外偶數的本原解不存在，那么例外偶數的通解也就不存在。而一旦有解，就會與例外偶數的定義發生矛盾。既然例外偶數2m’沒有簡單本原解，2m’≠ p-q，或者2m’≠ p+q，那么例外偶數的原分割方程也就沒任何解。因為原方程所有解都是簡單本原解（素數基礎解系）的數乘或內積，最簡本原解是空集，它的數乘或內積也必是空集，例外偶數的通解必是空集。

 由于以上是重要證明，不妨反復解讀，用多種理解表達下。凡不小于8的全集偶數，根據算術基本定理都有唯一表達的素因子積，而可用兩奇素數之和表示的可表偶數一定是全集偶數的子集（含假子集），因此可表偶數的數乘就能獲得不小于8的全集偶數（由于乘法滿足交換律和結合律，故須確定可表偶數的素因子域才可進行相應的數乘，否則會帶來主觀擴域。反過來從全集偶數約掉數乘純量得到可表偶數則容易判定出純量素因子值域，因為全集偶數顯然含所有素因子）。

 由于2.3已證，兩奇素數相加所得到的和包含所有的素因子，故數乘的純量值域可以是所有自然數，在可表偶數所允許的素數域中添加素因子就足以還原得到全集偶數，于是可表偶數的數乘與不小于8的全集偶數是同構的。而根據例外偶數的定義，它不在可表偶數中，又須在全集偶數中，而全集偶數除了可表偶數，就是可表偶數的數乘，那例外偶數就在可表偶數的數乘中。

 由于例外偶數在可表偶數中是空集，例外偶數只能通過空集的數乘而獲得同構映射，于是例外偶數的子集數乘無論如何都還是空集，而不小于8的所有偶數都是可以通過可表偶數的子集數乘獲得偶數全集的（不是所有的子集數乘都能得到全集偶數的）。例外偶數也須如此，例外偶數要想獲得該類型全集偶數，除了用相應的可表偶數該類型子集進行數乘，別無選擇，而例外偶數在可表偶數中僅為空集，空集的數乘還是空集，故可表偶數與不小于8的全集偶數同構。

 因p+q-2m=0(p、q為所有的奇素數，2m為可表偶數，m大于3）；且ap+qb-2mc=0（p、q為所有的奇素數，2m為可表偶數，a、b為含所有奇素數因子的奇數、c為含所有素數的整數，m大于3（以上兩組的證明，見上文2.1至2.4）。故，素數向量組（p，q，-2m）與系數向量組（a、b、c）是偶數分割方程的一對正交基，也就是說多項式函數f（p,q,2m）=p+q-2m通過向量組（a、b、c）線性映射到多項式函數f（p,q,2m）=ap+qb-2mc必有0點解。

所以，可表偶數是一定能夠通過數乘獲得不小于8的全集偶數的。而可表偶數的數乘2mc除可表偶數2m外，所剩數乘部分則為例外偶數。根據定義，由于例外偶數在可表偶數上是空集，故其數乘部分仍是空集。故可表偶數的數乘皆為可表偶數。因例外偶數也是偶數中的一種，也應可分成兩類偶數，一類為可表偶數，一類為可表偶數的數乘。所以如果有例外偶數，則一定能在可表偶數的數乘中獲取，如果沒有則例外偶數只能為空集。可見例外偶數是因為沒有簡單本原解而導致沒有通解的。

 偶數的簡單本原解方程表達雖沒有唯一性，但表達簡單本原解的全集方程具有唯一性。重要的話，不怕再啰嗦一句：不小于8的可表偶數都可以分割成互素的奇素數之和或之差。這是偶數分割方程中的簡單本原解方程，也就是說，偶數分割方程的通解方程與偶數分割方程的簡單本原解方程，存在著一一對應的關系，偶數的通解表達式可以線性映射到偶數的簡單本原解表達式上。

 不難證明通解和簡單本原解之間是同構映射關系(用算術基本定理證明或用可表偶數關聯定理證明)。

 因為偶數的通解表達式線性映射到偶數本原解表達式上是同態的，偶數本原解表達式線性映射到可表偶數的數乘上也是同態的，可表偶數的數乘線性映射到所有2倍奇素數的數乘上也是同態的，2倍奇素數的數乘線性映射到偶數的簡單本原解表達式上也是同態的，故偶數的通解表達式線性映射到偶數的簡單本原解表達式上也是同態的（傳遞性法則）。

 另外，偶數的簡單本原解表達線性映射到可表偶數上是同態的，可表偶數線性映射到可表偶數的數乘上是同態的（由于例外偶數是可表偶數的數乘子集，根據例外偶數的定義，它在可表偶數上是空集，故它在可表偶數的數乘上也就一定是空集），可表偶數的數乘線性映射到偶數上是同態的，偶數線性映射到偶數的通解表達式上也是同態的，故偶數的簡單本原解表達式線性映射到偶數的通解表達式上也是同態的（傳遞性法則）。

 故偶數通解和偶數簡單本原解之間是同構關系，是一榮俱榮一損俱損的。這就意味著找不到簡單本原解就找不到通解，找不到通解就找不到相應的簡單本原解。

 如果例外偶數2m’沒有簡單本原解，2m≠p-q，或者2m≠p+q，根據定理“經數乘和內積變換，通解解集確定的三元整系數方程有且僅有相應確定的簡單本原解解集”，那么例外偶數的原方程也就沒任何解。例外偶數橫豎是空集，根據定義，p+q=2m或p-q=2m為可表偶數，可得同構等式2n =2m∪2m’=2m∪?，故2n =2m。于是可證2n=p-q或2n=p+q為左右同構等式，其中n＞3，m＞3、p、q互素且為所有奇素數。于是哥德巴赫猜想和齋藤猜想獲證。

 把以上證明的步驟換一種描述就是：

 不小于8的全集偶數皆可分割為一對互素的奇素數之和（偶數分割本原解三元方程）。故不小于8的全集偶數就一定有最簡本原解三元方程。因為本原解方程三元互素，在滿足結合律和交換律的前提下，方程右邊偶數項必有含所有奇素數域的一個素因子，方程左邊的兩奇數項也必各含所有奇素數域的一個素因子，所以必有素數基礎解系方程p+q=2w（p、q、w為任意奇素數）。如果w不為任意奇素數，2w的數乘亦無法還原得到不小于8的全集偶數，因為在偶數最簡本原解不小于8的基礎上，任意數乘都會得到多個素因子數或多個2因子數，這樣通項就會有無數偶數漏項，矛盾，故p+q=2w是全集偶數分割可得到的最簡本原解三元方程，三元一定各含所有奇素數因子域，也就必有匹配的正交基增廣線性組與之線性相關，可還原得到偶數分割本原解三元方程。

 我們定義含所有奇素數域的兩個不同奇素數相加所得到的全部偶數為可表偶數2m，顯然2w為可表偶數的子集，于是m就含所有素數因子域，包括偶素數。可表偶數2m是2w的數乘得到的，它是例外偶數2m'關于全集偶數的補集。根據例外偶數2m'的定義，它是不能用兩奇素數之和表達的偶數。故它不含2w，所以有關它的數乘就是空集。

 既然所有的偶數及各種類型偶數都必有最簡本原解2w,不小于8的全集偶數及各種類型偶數由最簡本原解偶數2w或2w的數乘無漏構成，也可以說，由可表偶數2m或可表偶數2m的數乘無漏構成。所有的偶數都必須能這樣分割和分類，類型偶數是從最簡本原解上分類的，例外偶數也概莫能外。可是例外偶數根據此規則，由于在可表偶數上是空集，在最簡本原解上也必是空集，只能是空集的數乘還是空集。因為例外偶數是空集，所以可表偶數就等價于不小于8的全集偶數。于是互素型哥猜就獲證，補上特例，歐拉型哥猜也就獲證。如果用兩奇素數之差定義可表偶數，一樣成立，于是齋藤猜想獲證。

 除了可表偶數的數乘封閉外，其實還可以從另一角度即可表偶數的二元加法封閉，以此來證明例外偶數是空集。

 在可表偶數加可表偶數的本原解方程a+b=c中，無窮素數因子項進行三元分配，根據鴿籠原理，必有一因子項，在持續新增素數，可設置在a、b某一項中，根據本原解方程互素關系，c中的素數因子就不可能大于a、b中的較大素數因子，而方程每次a中的最大素因子皆小于b和c中的最大素因子。把較大素數因子設置在c中也一樣。

 由于a、b囊括了所有的奇素數因子（前文已證），我們可合理構造b解集為持續新增素數的連續素因子項Πpi（i=1到n），且從p1到pn的素數因子都每次密集無漏到場，a解集則不需要，那么a、c的素數因子就在pi（i<k）內，a是c-Πpi所得到的數，又因為b、c每次若互素則互域，b、c解集之間若互域則同素，三元之間從生成元上看，沒交互同域過一回，必有一方解集始終沒有同域，所以c就沒法獲得素數pi（i≥1）因子。另外，c-Πpi、Πpi本原解無法互素，也就是a、b無法互素。即

Πpi（i=1到n）+p（i+1） = c（其中的素因子除2外皆大于p（i+1））；

與可表偶數互域的c中例外偶數根據定義可知非本原解，也非最簡本原解，故構造它的素因子必與左邊的素因子值首先互域，而最簡本原解方程每次互域時都不會產生公共素因子，故累計與密集遞增的素因子項也不會有公共素因子，滿足傳遞性無限互素。

 c中例外偶數的本原解若真存在的話，減去Πpi是一定有互素的差值解的，但一次互素解都沒有。c中例外偶數的素因子要么總被b中的連續素因子所囊括，這與本原解方程性質矛盾，要么與可表偶數中的所有素因子完全重合，沒有例外性，故解集a、b與解集c若互域則同素是假命題。把新增素數設置在c中也一樣，同理可證明，c-Πpi 、Πpi 無法互素，也就是a、b無法互素。a中的素因子在b中的連續素因子中，且a、b不能獲得所有的奇素數。這與條件要求矛盾，故左右互域時，c為素數因子空集。

 故方程若左右互域則左右互素是真命題。這就導致了例外偶數是空集，哥猜得證。

例外偶數是可表偶數的補集，通常理解為彼此獨立，其反直覺的是，它還必須是可表偶數的數乘，它還必須滿足可表偶數的二元加法運算，正是因為在這一點上有主和次的緊密牽扯，不等量分割才給萬物之間留下了秩序關聯。

 另外，筆者還通過其它角度對哥德巴赫猜想完成了更精準的證明。

“三元方程互異解集基底互素”命題：在三元方程中存在同構型、同態型、互素型三類解集關系。

“同構型”三元方程解集基底互素定理（1）：在 a+b=c 的本原解三元方程中，如果a解集與b解集互異但素因子同構（非素因子全集），那么第二對a與c和第三對b與c解集互異必基底互素。

“同態型”三元方程解集基底互素定理（2）：在 a+b=c 的本原解三元方程中，如果a解集與b解集素因子同態，且第二對a與c解集同態，則第三對b與c解集互異必基底互素。

“互素型”三元方程解集基底互素定理（3）：在 a+b=c 的本原解三元方程中，如果a與b解集彼此有不共素因子，且b與a解集彼此有不共素因子，那么第三對b與c解集互異必基底互素或因子同構。

通過以上分析，可嚴格地得到哥猜證明。根據三元方程解集性質，可判定(Uai,Uci)非基底互素的假設是不真的。故c中增添新素因子是每個a和b的基底素因子補元不斷篩查所剩的交集。根據定義，2m與c是互異集，方程兩邊約掉2，{m}∩{c/2}=?）。在此前提下，就會導出偶數分割方程的一個重要性質。2m+2=c，2m為可表偶數，見后文定義并證明可表偶數蘊含所有素因子。這里預告下證明思路，再完成一個可表偶數蘊含所有素因子的引理證明，哥猜即獲證（詳細證明見學術論文）。

 3.哥德巴赫猜想的延伸意義

 數學的魅力在于它能給人帶來思想的自由。數學的本質是自由，這是康托爾說的話。假如一個問題的解決不能帶來一系列同類問題的解決，我們就不會為一個孤證而搜腸刮肚；假如一個問題的解決絲毫不能引起人類的審美愉悅，我們就不會繼續探索；假如這個問題對我們探索未知世界毫無幫助，我們就會認為它沒有價值；假如這件事情不能喚醒良知和志向以及希望，就無法驗證。假如這件事情不能給個人幸福追求帶來能量，就不值得依靠。數學的無用，只因它超級有用，如果是真的無用，早已棄之如敝履。

 如果一個猜想僅僅是個會下金蛋的母雞，專刺激數學新工具的產生，本身命題沒有多大意義，那么這個猜想也不會有多大的挑戰性。好的數學猜想，一定是一個通往新領域的橋梁，只有把猜想變成了定理了，才能暢通無阻地進入新領域開拓。哥猜問題的解決可以多米諾骨牌式地解決一大堆丟潘圖數論問題。

 哥猜獲證絕非孤證，尤其是互素型哥猜，它可證明系列數論猜想.因為偶數的相鄰差值為2，故可得到齋藤猜想的推論：(p1-p3)-(p4-p2)=2有匹配的無窮組。我們還可以證明存在無窮組素數其間隔差為定值2w，用反證法來證明。如果間隔差可列的每類素數對都是有限組的，那么差值2,差值4，差值6，……差值2k的素數對將在某個定值后不再出現，這就意味著充分大后繼素數將分布在無窮大之外，也就是說超大素數是不存在的，這同歐幾里德已證明素數有無窮個相矛盾。故“間隔差可列的每類素數對都是有限組的”這個命題是不真的，因此必有差值為某一定值的素數對是擁有無限組的，這個定值可取2w。

 根據2n=p-q的推論，必有(p1-p3)-(p4-p2)=2（從相鄰偶數關系推理而來），現已知(p1-p3)=2w擁有無窮組，那么與之匹配的間隔差值的差值等于2的素數對(p4-p2)就一定也擁有無窮組，否則就不能產生無窮無漏的后繼偶數。由此可得(p4-p2)=2w-2也必有無窮組，將這個運算迭代運行下去，必將得到(p4-p2)=2有無窮組。于是孿生素數猜想獲證。以上也同時證明了2n中所有定值2w作為素數間隔的素數對都各有無窮組，而這正是波利尼亞克猜想。

 即根據齋藤猜想獲證，孿生素數猜想和波利尼亞克猜想皆相應成立。當然它還可以證明更多的數論猜想，作者將另文闡述。比如隨著哥德巴赫猜想、齋藤猜想，孿生素數猜想、波利尼亞克猜想的破解，abc猜想會迎刃而解，黎曼假設也就找到了可以解結的線頭。而黎曼假設則有上千個推論等著黎曼假設成立而成立，否則會全部垮塌。可見哥猜成立的意義有多么重要。

 還記得核函數核空間嗎？對，就是那個支持向量機，它可是人工智能里最重要的底層數學思想，多項式的線性變換，都可以找到單值量的數乘來對應表示，核函數還沒有將數學的底層思想講透，而深入到素數基礎解系中的哥猜，可以進一步將核函數的秘密挖掘得更深，將為人工智能探索到更深刻的數學基礎。本文證明的關鍵是，在偶數不等量分割方程中，三元方程的通解和簡單本原解之間存在著同構映射關聯。而例外偶數根據定義，不存在簡單本原解，故例外偶數方程的通解解集為空集。因為凡偶數皆能不等量二元分割，而最后定有以素數基礎解系為解集的簡單本原解，簡單本原解為空集，則通解就為空集，例外偶數為空集的秘密原來在此。

 哥德巴赫猜想發現了一個趨于簡潔的優美世界，是通往最優化選擇的橋梁，人們持久地愛好它，是因為如果沒有這種簡單，人們就會喪失對更深刻問題的信念——因為復雜是來自對簡單的有序理解。假如哥德巴赫猜想是錯誤的，它將限制我們的觀察能力。使我們難以跨越一些問題并無法欣賞。一個問題把它無序的一面強加給我們的內心生活，就會使我們的感受趨向丑陋，引起自卑和傷感。如果復雜世界不能連接簡單，人類的孤獨就會變成絕望。

 素數具有一種神秘的氣質，素數給人們一種永不妥協的自我超越色彩，有一種神圣不可侵犯的孤獨和高貴。當哥德巴赫猜想變成定理，我們可以看到上帝的大智大慧，上天的巧妙安排，乘法是加法的重疊，而哥德巴赫猜想卻用加法將乘性概括。在這隱晦的命題之中有著深奧的知識。它改變了人們對數的看法：原來加法也可以篩選素數，它找到了大數分解和大數分割殊途同歸的路徑，乘法的輪郭憑直觀就可以從加法那里一目了然。哥德巴赫猜想體現了一種探索機能，加法和乘法都是數量的堆積，但乘法是對加法的平等性延伸，加法對乘性的控制卻體現了兩種不同的要求，那是一種次地性延伸。前者通過感受空間可以理解，后者則要求領悟時間而獲得靈感。它似乎同人性和哲學以及宗教更近些。

 激動人心的東西總是出人意料的，它即是直覺的，又是反直覺的。常識以為偶數的范圍更廣，兩奇素數相加的范圍窄，事實上，兩奇素數相加所能獲得的數的區分性遠遠不是偶數所能比擬的。哥猜的世界能讓我們一次又一次地吃驚。

 據數感反應特別敏銳的人描述，素數在直覺冥想中光感強烈，被稱之為是君子數，是整數中的貴族。有一種質數禪，就以17年這一質數周期來選擇繁殖年，據說這樣可以躲過天敵。素數充滿了玄妙，它能把復雜的事物說得簡單明了，也能把簡單明了的事物變得復雜。前者靠直覺和洞察，后者靠聯想和推理。素數是性感的，是嫵媚的女王，素數是剛強的，是振臂一呼的將軍。對哥德巴赫猜想的探究是因為它直接涉及到素數的性質，對素數本質的認識是因為這個意義深遠，尤其是互素性的哥德巴赫猜想，遠比歐拉型的哥德巴赫猜想深刻的多，素數的2倍都可以用素數自己加自己獲得，模糊了通過偶數挖掘素數的線索，而互素型哥猜，顯然難度加大，然而它的用處極大，它為尋找后繼素數提供了可能。就目前來說，基本能將新增素數控制在三級后繼素數的范圍里，素數構造方程對尋找新增素數將會越來越有效。素數是涉及它物的（其他命題的），超越自身的，向外傳遞的，有超越自我的意義，是一種持續不斷的命題產生的源泉。由此推出哥德巴赫猜想的更深遠意義。以往的數學家，研究一個數學對象，喜歡先研究有關它的普遍公式，然后才能確定該對象的數學位置。

 而完成哥猜的證明，是一個分水嶺，因為素數這個具有生命靈性的對象，同以往的所有的數學對象都不同，它不可能用有限的多項式完成一勞永逸的表達，于是它就不可能有相應的普遍通項公式；但不能因為此，人類就不能用思想捕捉到它的本質。素數構造方程仍然是存在的，它是一個可持續的迭代遞歸函數，通過它我們可以捕捉到后繼素數。用普遍通項公式抓住事物本質的數學時代已經過去了，用持續迭代遞歸公式抓住事物本質的數學時代來臨。普世性讓位傳世性的哲學思想將開始沖撞我們的認知。最后感慨之余賦詩一首：“數星數月數盡沙，思古思今思念它。哥猜確已被破解，不信可去問歐拉”。

                                                                                  2017.1.18 于深圳原稿

                                                                                  2023.6.12 于深圳修改