《幾何學的力量》，[美]喬丹·艾倫伯格著，胡小銳、鐘毅譯，中信出版集團，2023年3月出版，389 頁，79.00元

人生幾何

回想起學生時代學數學尤其是幾何的時候總是心情復雜。幾何好像是遙遠的古代祖先傳下來的技巧，在校園之外的現代生活中百無一用。幾何在數學領域中的地位堪比榴蓮，愛的愛死，討厭的避之唯恐不及。有些人覺得學幾何比登天還難，而另一些人則認為幾何是數學中唯一有趣的部分，當然，前者可能占多數。

英文“Geometry”來源于希臘語，其中“Geo”意為地球，“Metry”對應希臘語中的測量，因此，幾何的本意是大地測量。作為數學的一個分支，幾何主要研究形狀、尺寸、空間和位置等。關于為何Geometry在中文中翻譯為“幾何”，有很多說法。最有趣的一種說法（尚未得到證實）是徐光啟在翻譯歐幾里得的《幾何原本》時，受曹操“短歌行”中的“對酒當歌，人生幾何”的啟發；加之徐光啟是上海人，“Geometry”的前幾個字母發音和上海話的“幾何”相似，因此得名。

喬丹·艾倫伯格（Jordan Ellenberg）是美國威斯康星大學的數學教授，他的著作《幾何學的力量》進過紐約時報暢銷書榜。本書生動形象、全面地描述了幾何在生活中各個領域的應用，包括理論物理、金融、人工智能、政治和詩歌等，可以說幾何幾乎無處不在。雖然要完全理解這本書需要一定的數學基礎（高中或以上），但無論你的數學知識深淺，都可以通過本書了解到一些關于數學和幾何的有趣八卦，拓展知識視野。

幾何與人工智能：滅蚊建模、布朗運動、馬爾科夫、搜索算法和ChatGPT

幾何與人工智能的關系要追溯到二十世紀初圣路易斯世博會上科學家羅納德·羅斯（Ronald Ross）做的一個題為“滅蚊衛生政策的邏輯基礎”的有趣演講。羅斯的模型很簡單，假設一只蚊子出生在給定的點，并且在它的生命中每一天可以選擇向東南西北，各百分之二十五的概率，最后它死的距離會離出生點多遠？只要計算出這個圓圈的大小，排干的水池的圓圈足夠大，蚊子就會被消滅。羅斯的數學功底并沒有辦法解決這個二維模型，而是解決了簡化版的一維模型。1905 年7月皮爾遜在《自然》雜志中提出并解決了羅斯的二維滅蚊問題。

羅斯的演講其實并不成功，因為他的演講對象是數百名醫生，他們完全聽不懂羅斯想要把數學建模引入醫學討論的想法。但誰能想到，這篇關于滅蚊政策的演講，開啟了隨機游走理論，而這個理論在二十世紀啟發了理論物理、金融衍生品定價模型、搜索算法, 甚至如今最火爆的ChatGPT都與之有密切關系。

同年愛因斯坦在《物理學年鑒》發表了關于布朗運動的論文，一舉成名。布朗運動是用來刻畫漂浮在液體中的小顆粒的運動，是1827年羅伯特·布朗在顯微鏡下研究花粉顆粒首先注意到這個現象。開始他以為這是生命體的特有現象，但在進一步試驗后，他發現窗戶上的玻璃屑、粉末錳、鉍和砷、石棉纖維也都存在類似現象。愛因斯坦根據擴散方程建立了布朗運動的統計理論。布朗運動的發現、實驗研究和理論分析對于理論物理具有劃時代意義，而其數學建模和之前提到的滅蚊模型有著非常大的關聯。

在二十世紀隨機過程理論轟轟烈烈的發展中，最有名的莫過于安德烈·馬爾科夫（Andrey Markov）。馬爾科夫是一位俄羅斯數學家，他在概率論和隨機過程領域做出了重要貢獻。他也是個怪異的數學家，只關心概率純理論，對實際運用漠不關心。得知其他數學家把隨機游走方面的理論運用到股票市場，馬爾科夫不以為然，認為此類工作在數學領域并無太多價值。這種純數學家對于運用數學家和統計學家的鄙視鏈條，在今日的數學界仍可找到蹤影。

馬爾科夫對數學最大的貢獻莫過于以他名字命名的馬爾科夫鏈（Markov Chain）。二十世紀初，馬爾科夫采用該鏈來分析俄羅斯詩人普希金的著名詩作《葉甫蓋尼·奧涅金》中的字母。他將俄語字母的排列視為一個隨機過程，并計算了一個馬爾科夫鏈模型。通過這個模型，馬爾科夫成功地揭示了《葉甫蓋尼·奧涅金》中字母出現的概率規律。在前兩萬個字母中，他發現如果當前字母是輔音，下一個是元音的概率是百分之六十六點三，而如果當前的字母是元音，下一個是輔音的概率是百分之八十七點二；他還對謝爾蓋·阿克薩科夫（Sergey Aksakov）的小說做了同樣的研究，發現如果當前字母是輔音，下一個是元音的概率是百分之三十六點五，而如果當前字母是元音，下一個是輔音的概率是百分之四十四點八。也就是說通過統計這個數據，可以大致辨別出一篇文字的出處更有可能是普希金還是阿克薩科夫。這個有趣的運用蘊含了未來谷歌搜索算法和ChatGPT的關鍵思想。

谷歌搜索算法的本質是通過馬爾科夫鏈，根據之前的狀態，預測下一個可能的狀態。馬爾科夫鏈和谷歌搜索的關系體現在谷歌搜索算法中的一個重要組成部分——PageRank算法。PageRank算法運用馬爾科夫鏈的思想來模擬網頁之間的鏈接關系。在PageRank模型中，每個網頁被視為一個狀態，而網頁之間的鏈接被視為狀態轉移的可能性。因此，當用戶在瀏覽網頁時，他們從一個網頁跳轉到另一個網頁的行為可以看作是一個馬爾科夫鏈過程。PageRank算法計算每個網頁的概率分布，這個概率分布可以理解為網頁的重要性得分。最終，搜索引擎會根據這個得分對搜索結果進行排序。

而ChatGPT是一個基于GPT架構的大型語言模型，它可以進行自然語言生成、理解和對話等任務。ChatGPT利用了類似馬爾科夫鏈的方法，即根據之前的文本，預測下一個可能的文本，并不斷重復這個過程，從而生成連貫的對話或文章。具體來說，ChatGPT使用的是“自回歸模型”（Autoregressive Model），它將文本序列看作一個時間序列，當前的文本生成依賴之前的文本，每個文本片段的生成都是基于之前所有文本的概率分布。這種模型可以看作是一種馬爾科夫鏈模型，基于當前狀態的概率分布預測下一個狀態的概率分布。馬爾科夫鏈在深度學習和神經網絡中起到了非常關鍵的作用。

幾何與政治家：林肯化圓為方

幾何與歷史上一些知名的政治家也頗有淵源。林肯可能是歷任美國總統里對幾何最感興趣的一位。他將幾何學的概念和原理應用到政治和法律問題中，從而獲得更深刻的理解和更好的解決方案。林肯的幾何學思維方式不僅在律師生涯中得到了體現，也對他的整個政治生涯產生了深遠的影響。

林肯在人生艱難時期把歐幾里得的《幾何原本》當作慰藉的源泉，是個十足的幾何控，他的幾何學基礎知識是在早年測量員工作中學到的。1850年代，林肯在眾議院任職一屆后卸任，眼看政治生涯似乎就要到頭了，他接下來的計劃是當一名普通律師。他的律所合伙人威廉·赫恩登（William Herndon）以前是他的室友，赫恩登回憶往事說自己早已呼呼大睡，而林肯沉浸在歐幾里得的《幾何原本》中，點著蠟燭廢寢忘食。某日清晨，熬了一個晚上的林肯告訴赫恩登他一直在努力解決一個著名的化圓為方問題。他試圖構建一個與給定圓具有相同面積的正方形，但限制條件是只能使用直尺和圓規這兩種工具。在古希臘，當某人使任務變得比必要的更難時，標準的憤怒評論是說：“我不是要你把圓圈弄方。”英語中的square the circle, 中文的化圓為方，表達的都是類似的意思。這個難題在古代一直沒有被解決，且直到十九世紀才被證明不可能通過尺規完成（尺規畫不出根號π）。

林肯在其政治生涯中多次使用了化圓為方的比喻來解釋政治難題。他認為，有些人提出了一些看似美好的政治理念，但實際上是不可能實現的，就像化圓為方一樣。例如，林肯在一次著名演講中談到了廢除奴隸制的問題。他說：“廢除奴隸制并不是化圓為方，廢除奴隸制是我們必須完成的任務。”他還在一封信中用化圓為方的比喻來討論解決聯邦政府和州政府之間的權力分配問題：“我們不能期望找到一個完美的解決方案，因為這是化圓為方，但我們可以努力找到一個更好的方案，一個更符合我們的國家利益和憲法原則的方案。”

林肯通過幾何學的思維方式，不斷挑戰法律和政治問題，并用幾何學的邏輯和推理來解決這些問題。他曾說：“我們正在進行一場測試，測試我們是否能夠建立一個基于自由的政府，一個可以對抗各種挑戰和威脅的政府。我們必須保持信念和原則，就像在幾何學中，要根據公正的原則去推導正確的結論一樣。”林肯還經常使用幾何學的概念來解釋法律問題。在一份辯護詞中，他使用了幾何學中的“反證法”：先假設命題的結論不成立，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立。

林肯使用幾何學計算他家和最近的郵局之間的距離。在那個時代，測量距離的方法非常有限，而林肯熟悉幾何學的原理和技術，使用了幾何學中的三角函數和三角比例來計算這個距離。林肯還使用幾何學設計了一種更有效的種植作物的方式。他觀察到傳統的種植方法會導致農田的土壤逐漸喪失肥力，于是他將農田分成了一系列大小相等的正方形，每個正方形都種植不同的作物，這種方式使得每種作物都能夠得到充分的陽光和土壤營養。此外，林肯還在正方形田地之間留下了一些小的三角形田地，這些小田地可以用來種植牧草和其他一些需要更少的土地的作物。這種方法被稱為“林肯田地”或“林肯花園”，主要依賴于作物輪作和多樣化種植，以提高作物產量和保持土壤肥力，實現種植效益的最大化。通過輪作可以有效減少土壤中病原體和害蟲的數量，從而降低病蟲害的發生率。通過種植不同類型的作物，可以使土壤中的營養成分得到更好的循環利用。

在林肯最著名的《葛底斯堡演說》里最為人熟悉的“主張”（proposition）是歐幾里得使用的術語——其含義是通過一系列公理和邏輯推導得出的事實和無法否認的論斷。

林肯的《葛底斯堡演說》不僅在美國家喻戶曉，在全世界都很受歡迎。據說這篇演講江澤民主席可以用英文倒背如流。工程師出身的江澤民主席對數學尤其是幾何也十分熱愛，他曾在訪問濠江中學時當場給學生出了一道五點共圓的幾何題：“假設：任意一個五角星形的五個三角形外接圓交于五點。求證：這五點共圓。”這是一個經典的歐幾里得幾何問題，證明需要不錯的平面幾何基本功。

幾何與詩歌：華茲華斯的《序曲》

幾何與詩歌之間存在著深刻而復雜的關系。首先，幾何學和詩歌都需要創造性的思維和想象力。幾何學家需要從空間中找到規律、規則和對稱性，同樣，詩人需要從語言中找到節奏、韻律和隱喻等。此外，幾何學和詩歌也在某種程度上有著相似的結構和形式。幾何學的構成要素通常是線、面和體，這些要素之間的關系可以用數學符號和公式來描述。而詩歌的構成要素通常是節奏、韻律和意象等，這些要素之間的關系可以通過語言和形式來描述。最后，幾何學和詩歌都涉及一種探索和表達世界的方式。幾何學家通過研究形狀和空間，試圖了解自然界的規律和結構。而詩人則通過語言和形式，試圖表達人類對世界的情感和思考。

幾何與詩人有千絲萬縷的聯系。威廉·華茲華斯在長篇自傳體詩歌《序曲》（The Prelude）中講述了一個令人難以置信的故事：一名海難受害者被拋到一個無人居住的島嶼上，身邊除了一本歐幾里得的《幾何原本》一無所有。盡管他又餓又沮喪，仍用一根棍子在沙上畫出圖表，最后通過《幾何原本》里一個接一個證明來排遣寂寞安慰自己。這故事并不是空穴來風，據說有原型。《序曲》還有個故事。華茲華斯在一個寒冷的冬天來到意大利，看到一塊石板上刻有一些字母和幾何圖形。他突然感覺自己的思想被解放，可以超越時間和空間的限制，進入更高層次的思考。華茲華斯對于數學的喜愛據說部分來自好友、愛爾蘭數學家威廉·漢密爾頓（William Hamilton）。漢密爾頓在 1827 年遇到華茲華斯時才二十二歲，已被任命為都柏林大學教授和愛爾蘭皇家天文學家，華茲華斯五十七歲。漢密爾頓開始將自己的詩寄給華茲華斯，然而華茲華斯委婉地勸說漢密爾頓不要浪費太多精力在詩歌上。

神書《幾何原本》

另一個著名例子是波斯詩人奧馬開陽（Omar Khayyam），他還是一位數學家和天文學家。他的傳世名作《魯拜集》探討了生命的意義、愛情和時間的流逝等主題。奧馬開陽的許多詩歌也包含了對數學的引用，包括無限、幾何和代數等概念。其中一首寫道：天地為球，人心多欲，球之中心無所不在，而其周圍則無所依托。（The world is a sphere, the desires of men are various and different, and the center of the sphere is everywhere, but its circumference is nowhere.）

不過詩人也有吐槽數學幾何的例子。比如濟慈曾經吐槽牛頓，說他通過展示棱鏡表現出的光學效果，剝奪了彩虹的所有浪漫色彩。美國現代派詩人E. E. 卡明斯在一首詩中寫過：“幾何解釋不了為什么一個人不可能同時在兩個不同的地方。”

在某種程度上，幾何學被認為是宇宙秩序、和諧和美的表現，而這些特性通常與神性或上帝聯系在一起。在柏拉圖哲學中，幾何學被認為是理性思考的基礎，揭示了宇宙的永恒真理。柏拉圖的理念論主張，理念（如圓形、三角形等）存在于一種永恒、不變的超越現實之中，這種現實通常與神性相關聯。因此，在柏拉圖哲學中，幾何學是對神圣秩序的研究。基督教神學中的某些觀點也將幾何學與神性聯系起來。例如，在《圣經》的創世紀中，上帝被描繪成通過有序的創造行為創造了宇宙。幾何學的規律和原則通常被認為反映了上帝的智慧和創造力。因此，研究幾何學被認為是了解上帝思維方式的一種途徑。另一方面，在伊斯蘭哲學和藝術中，幾何圖案被認為是表達神圣無限性的一種方式。因為伊斯蘭教禁止刻畫具象的真主，所以幾何圖案成為了裝飾清真寺和其他宗教建筑的重要元素。這些復雜的幾何圖案被認為代表了宇宙的無限復雜性，而這種復雜性歸功于真主安拉的無限智慧和創造力。

本書還討論了一系列有趣的問題：一根吸管到底有幾個洞？數字貨幣交易中的公鑰和私鑰是怎么生成的？新冠病毒的傳播如何建模？自然界中隨處可見的黃金分割給我們怎樣的啟示？統計學何時會騙人？選舉中的“黑魔法”是什么？人工智能是如何戰勝國際象棋冠軍的？這些有趣的問題背后都蘊含著深刻的幾何原理，讓人不得不驚嘆大自然的神奇和幾何的美妙。