原編者按：

“對(duì)于我們的理性推論存在著兩大原則：其一是矛盾原則，這就是說，兩個(gè)相互矛盾的命題中一個(gè)是真理，另一個(gè)是謬誤；其二是充足理由原則，根據(jù)此一原則，任何事物的產(chǎn)生都不可能沒有原因或者至少不會(huì)沒有一個(gè)確定的理由。這是指某種能夠用來先天地進(jìn)行解釋的東西，它說明為什么某物存在著而不是不存在，為什么某物恰恰如此存在而不是以完全另一種方式存在。”萊布尼茨的本體論證明是基于《神義論》中的兩個(gè)原則（尤其是充足理由原則），當(dāng)然，如果按照休謨的懷疑論來看，它仍然需要回答一個(gè)問題，即：為何作為整體的宇宙/世界必須要有一個(gè)充足的理由呢？或者說，存在是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，還是超驗(yàn)事實(shí)？萊布尼茨那句“我們的宇宙，在某種意義上是上帝所創(chuàng)造的最好的一個(gè)”，或許在很多人看來過于樂觀，但在他的自有認(rèn)知體系中，卻是對(duì)于惡之存在的一種合理化詮釋——上帝創(chuàng)造世界不可能如上帝本身一樣完美。

我們知道，庫爾特·哥德爾（Kurt G?del，1906-1978，出生于奧匈帝國(guó)的數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家，維也納學(xué)派成員，原編者注）在人生的最后階段對(duì)萊布尼茨（1646-1716）做了大量深入的研究工作。哥德爾對(duì)萊布尼茨癡迷至極，按照他本人的說法，當(dāng)有人毀掉了萊布尼茨的部分手稿時(shí)，卡爾·門格爾（Karl Menger，美籍奧地利數(shù)學(xué)家，編者注）問哥德爾：“誰能從毀掉萊布尼茨的手稿中獲得好處？”哥德爾會(huì)說：“自然是那些不希望人類變得更聰明的人！”（門格爾，1994）。當(dāng)他的友人們建議他專注于自己的研究，而非鉆研、閱讀萊布尼茨的作品時(shí)，他一概置之不理。最終，不出意料，哥德爾繼續(xù)追隨著萊布尼茨的腳步，像萊布尼茨一樣為上帝之存在提供了本體論證明。

在這篇文章中，我將引用萊布尼茨的成果和闡釋，例如他的通用表意文字和二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)，以便讀者對(duì)他的部分成果有所了解，尤其是涉及數(shù)學(xué)哲學(xué)的那一部分。我還將解釋萊布尼茨是如何理解證明和分析的概念的。最后，我將重點(diǎn)討論萊布尼茨在神學(xué)和形而上學(xué)/哲學(xué)框架下的數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位。

通用表意文字（Characteristica universalis）

“拉丁語‘characteristica universalis’，在英語中通常譯為普遍特征（universal characteristic）或通用字符（universal character），是戈特弗里德·萊布尼茨所設(shè)想出的一種通用的形式語言，能夠表達(dá)數(shù)學(xué)、科學(xué)和形而上學(xué)方面的概念。萊布尼茨希望創(chuàng)建的是一種可以在通用邏輯運(yùn)算或者說推理演算框架之下加以使用的語言。”（維基百科，2019）

萊布尼茨意識(shí)到，政治或哲學(xué)方面的辯論和研究并不遵循數(shù)學(xué)方法。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)家也很可能像其他人一樣犯錯(cuò)誤，但他們也有一些工具可用以發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤。然而，哲學(xué)家沒有數(shù)學(xué)家那樣的工具，所以他們往往會(huì)犯更多的錯(cuò)誤。

盡管哲學(xué)界有亞里士多德派或柏拉圖派，數(shù)學(xué)界卻沒有“歐幾里德派”或“阿基米德派”（引自《數(shù)學(xué)與神學(xué)：一項(xiàng)歷史研究》[Mathematics and the Divine: A Historical Study]“萊布尼茨思想中的上帝與數(shù)學(xué)”一章，第485-498頁）。根據(jù)萊布尼茨的觀點(diǎn)，有必要對(duì)思想進(jìn)行數(shù)學(xué)化，以便解決由感情而非正義所支配的爭(zhēng)端；為了使思想中的重要部分形式化，數(shù)學(xué)領(lǐng)域需要產(chǎn)生符號(hào)和規(guī)則。

正如萊布尼茨在他的《通用表意文字序言》（Preface to a Universal Characteristic）中解釋的那樣，通用表意文字將揭示我們思維的“字母表”，分析其基本概念，而基于這些概念，就能以一種明確的方式判斷一切事物（引自萊布尼茨《哲學(xué)文集》[Philosophical Essays]，第5-10頁）。因此，主張兩種不同觀點(diǎn)的哲學(xué)家之間將不必再發(fā)生沖突，他們會(huì)挨著坐在一起說：“讓我們計(jì)算一下吧！”（“Calculemus！”）然后他們就能計(jì)算出自己想法的準(zhǔn)確性！

萊布尼茨的通用表意文字是一種計(jì)算公式。這種思想是基于將基本的或不可約的想法與質(zhì)數(shù)相匹配。一個(gè)數(shù)字刻畫一個(gè)基本想法：這就是特征數(shù)（characteristic number）。讓我們引用萊布尼茨本人在文章中給出的一個(gè)例子，他在該篇文章中討論了特征數(shù)文字的樣本（引自萊布尼茨《哲學(xué)文集》，第10-18頁）。假設(shè)我們給出兩對(duì)數(shù)（13, 5）和（8, 7），它們分別對(duì)應(yīng)“人是理性的動(dòng)物”這一命題中“動(dòng)物”和“理性”這兩個(gè)基本概念。那么刻畫“人”這一概念的數(shù)字就是（[13×8], [-5×7]）=（104, -35）。

根據(jù)這一思想，由于質(zhì)數(shù)的數(shù)目是無限的，所有基本或不可約的概念都可以分配到一個(gè)、一對(duì)或一組三個(gè)數(shù)字；因此，其他復(fù)合概念可以以質(zhì)數(shù)乘積的形式獲得，整個(gè)語言系統(tǒng)都可以被映射成數(shù)字。

二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)在萊布尼茨之前就已經(jīng)存在，但萊布尼茨是第一個(gè)以系統(tǒng)、成熟的方式記錄它的人。在一封信中，萊布尼茨描述了他如何處理萬物從無到有和二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)這兩個(gè)問題。這是萊布尼茨思想中神學(xué)和數(shù)學(xué)（乃至物理學(xué)）巧妙地發(fā)生相互作用的例子，我會(huì)在后面提到這點(diǎn)。

針對(duì)萬物創(chuàng)生和二進(jìn)制系統(tǒng)，萊布尼茨設(shè)計(jì)了一枚金屬紀(jì)念章（硬幣）。該獎(jiǎng)?wù)律峡逃幸韵伦志洌骸埃ㄉ系郏﹦?chuàng)世的場(chǎng)景”（Imago creationism），“自無導(dǎo)出萬物，一足矣”（Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum）和“只需一物”（Unum est necessarium）。萊布尼茨遵循畢達(dá)哥拉斯學(xué)說，聲稱萬物的起源或本質(zhì)是一個(gè)數(shù)字。眾所周知，在二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)中，所有的數(shù)字都可以用0和1來表示。萊布尼茨把0解釋為“無”，把1解釋為“上帝”，他認(rèn)為二進(jìn)制系統(tǒng)象征著創(chuàng)造，因此一切都可以用這個(gè)系統(tǒng)表達(dá)。對(duì)萊布尼茨來說，一切都是0和1的組合。根據(jù)這一理論，萬物都來自“1”，也就是上帝。

對(duì)萊布尼茨來說，二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)揭示了上帝創(chuàng)世的美麗和完美。也就是說，二進(jìn)制系統(tǒng)中的單個(gè)數(shù)字可能看起來并不美，但是當(dāng)它們被一個(gè)接一個(gè)地寫下去時(shí)，美就從整個(gè)系統(tǒng)的秩序感中誕生了。類似地，在這個(gè)世界上也許有些東西，我們單獨(dú)看它們并不喜歡，但是當(dāng)我們找到正確的視角，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它是完美的。

萊布尼茨的數(shù)字神秘主義并不止于此，他還說過諸如“上帝喜歡奇數(shù)”之類的話。鑒于我們不想就這個(gè)問題展開太多，再舉最后一個(gè)例子即可：萊布尼茨說，創(chuàng)世后的第七天在二進(jìn)制中是一個(gè)非零（“完美”）數(shù)字，這是對(duì)于上帝六天創(chuàng)世的許多數(shù)字類比的一個(gè)補(bǔ)充。它還指出，111點(diǎn)代表著三位一體（引自《數(shù)學(xué)與神學(xué)：一項(xiàng)歷史研究》“萊布尼茨思想中的上帝與數(shù)學(xué)”一章）。

現(xiàn)代意義上的“證明”概念

正如科學(xué)哲學(xué)家伊恩·哈金（Ian Hacking）指出的那樣，笛卡爾并不知道什么是當(dāng)代意義上的“證明”。相比之下，萊布尼茨的理解則更接近于現(xiàn)代對(duì)證明的定義（哈金，2002）。他認(rèn)為笛卡爾的數(shù)學(xué)準(zhǔn)確性與證明無關(guān)。對(duì)于笛卡爾來說，即使一件真實(shí)的事情沒有被證明，它也是自然真實(shí)的。因此，事物的真值與對(duì)它的證明是不相關(guān)的。

我們也不要忘記，笛卡爾并不尋找證明，而是尋找能夠給出新的數(shù)學(xué)結(jié)果的實(shí)用方法。現(xiàn)代證明概念之所以出現(xiàn)，是因?yàn)槿R布尼茨認(rèn)識(shí)到證明的有效性不在于其內(nèi)容，而在于其形式。所以，“證明”是根據(jù)特定邏輯規(guī)則，始于特定同一性的特定句子的有限數(shù)量的序列。

如果我們回憶一下笛卡爾的方法，會(huì)注意到他在收集新信息時(shí)非常重視直覺，而在萊布尼茲對(duì)證明的理解中，關(guān)鍵在于找到我們所擁有的句子的“機(jī)械”證明。

萊布尼茨提出的證明思想多半受到了他那個(gè)時(shí)代的思想的影響。正如哈金所說（哈金，2002，第202頁），習(xí)慣上每個(gè)時(shí)代都有一位深深動(dòng)搖了此前各種思想的人，而每個(gè)時(shí)代的人們也要找到并推翻這個(gè)人；萊布尼茨就在他的時(shí)代扮演著這樣一個(gè)角色。

事實(shí)上，有關(guān)他那個(gè)時(shí)代“證明”這一觀念的出現(xiàn)，萊布尼茨本人提供了一個(gè)說得過去的解釋。當(dāng)幾何作為精確度的衡量標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，很難發(fā)展出現(xiàn)代意義上的證明概念：這是因?yàn)閹缀巫C明主要是基于它們的“內(nèi)容”。這種證明的有效性取決于它們是否符合所研究的幾何對(duì)象的已知性質(zhì)。隨著笛卡爾幾何學(xué)的代數(shù)化，證明轉(zhuǎn)化為形式的途徑得以開辟。

分析

當(dāng)一個(gè)陳述是謂項(xiàng)、等同于主項(xiàng)的項(xiàng)，或陳述中的謂項(xiàng)包含于主項(xiàng)中時(shí)，它被稱為分析性陳述。例如，假如我們說“所有的人都是活著的”，對(duì)于萊布尼茨而言，我們的意思是“活著”的概念包含在“人”的概念之內(nèi)（引自萊布尼茨《哲學(xué)文集》，第11頁），所以這個(gè)陳述是分析性的。根據(jù)萊布尼茨的觀點(diǎn)，所有的數(shù)學(xué)真理都是分析性的。

眾所周知，伊曼努爾·康德通過努力改造萊布尼茨的實(shí)在（reality）概念，引入了分析-綜合區(qū)別（analytic-synthetic distinction）。康德認(rèn)為，分析先驗(yàn)知識(shí)是只能通過邏輯獲得的信息。綜合先驗(yàn)知識(shí)是利用時(shí)間和空間直覺所獲得的信息。康德認(rèn)為，算術(shù)學(xué)中的數(shù)線和幾何學(xué)中的直線都是基于直覺的綜合先驗(yàn)知識(shí)。

這里，我們想強(qiáng)調(diào)的是，萊布尼茨對(duì)分析和公義的理解（盡管康德已經(jīng)改變了這些含義）塑造了弗雷格（Gottlob Frege）和羅素等邏輯學(xué)家的基本主張，他們?cè)?0世紀(jì)早期試圖將所有的數(shù)學(xué)陳述歸結(jié)為邏輯。此外，萊布尼茨的“公理可以被證明”的觀點(diǎn)很可能也影響了邏輯學(xué)家。不僅如此，萊布尼茨本人也試圖對(duì)某一數(shù)學(xué)證明中所用的原理給出有力的證明。

萊布尼茨的證明概念和分析概念是相輔相成的，因?yàn)樵谧C明過程中，從任何一個(gè)陳述中推導(dǎo)出其他陳述，都符合分析的概念。

神圣的數(shù)學(xué)（Mathematica Divina）

到目前為止，我們已經(jīng)接觸了萊布尼茨關(guān)于數(shù)學(xué)的一些觀點(diǎn)。本文提出的問題之一是，萊布尼茨對(duì)待數(shù)學(xué)的看法無法和他的神學(xué)和形而上學(xué)/哲學(xué)觀點(diǎn)區(qū)分開。比如，我們已經(jīng)在上面提到過，萊布尼茨并不把二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)理解為一個(gè)算術(shù)問題。

布雷格（Breger）如是引用道，對(duì)于萊布尼茨來說，數(shù)學(xué)和神學(xué)就像是“通向上帝的階梯”（引自《數(shù)學(xué)與神學(xué)：一項(xiàng)歷史研究》“萊布尼茨思想中的上帝與數(shù)學(xué)”一章，第493頁）。要想理解萊布尼茨，就要對(duì)他眼中數(shù)學(xué)、神學(xué)和形而上學(xué)之間的關(guān)系一一進(jìn)行討論解決。這樣一個(gè)復(fù)雜的問題無法在這篇短文中盡數(shù)闡明；因此，我將僅僅提及其中幾個(gè)問題，給讀者一個(gè)大致印象。

萊布尼茨希望他的數(shù)學(xué)成就能引起人們對(duì)他的哲學(xué)和神學(xué)思想的注意；畢竟，數(shù)學(xué)成就是一個(gè)人意志堅(jiān)韌的標(biāo)志。萊布尼茨的這種個(gè)人層面的“機(jī)會(huì)主義”反映了他所處時(shí)代社會(huì)層面的另一種機(jī)會(huì)主義。眾所周知，去往中國(guó)的基督教傳教士利用歐洲的數(shù)學(xué)成就來給中國(guó)人留下深刻的印象，然后使他們信仰基督教。萊布尼茨會(huì)毫不猶豫地贊同這一做法。

事實(shí)上，對(duì)于萊布尼茨而言，通用表意文字方法是向那些不信仰上帝的人展示真相的最可靠的方法，因?yàn)樗梢韵褚患芴炱揭粯訙y(cè)量和顯示一切事物的準(zhǔn)確值（引自《數(shù)學(xué)與神學(xué)：一項(xiàng)歷史研究》“萊布尼茨思想中的上帝與數(shù)學(xué)”一章，第9頁）。換句話說，傳教士們用這種計(jì)算方法向非基督徒展示真理，這將足以引導(dǎo)他們走向基督教！

萊布尼茨使用數(shù)字作為通用表意文字有其形而上學(xué)的基礎(chǔ)所在。萊布尼茨論述了“上帝依據(jù)一定的尺度、數(shù)目和衡量創(chuàng)造萬物”的信仰，這也是柏拉圖的觀點(diǎn)。萊布尼茨認(rèn)為：有些物體沒有重量，所以它們的重量無法計(jì)算；有些物體沒有維度，所以它們的長(zhǎng)度無法測(cè)量，但任何東西都可以數(shù)出數(shù)目。總之，數(shù)字是一切事物的本質(zhì)。

根據(jù)萊布尼茨的說法，上帝是一位完美的數(shù)學(xué)家。創(chuàng)造的行為與“神圣的數(shù)學(xué)”（Mathesis quaedam Divina）一同發(fā)生。萊布尼茨在他的著名文章《論事物的終極起源》（On the Ultimate Origin of Things）中說，萬物的起源是一種“形而上學(xué)的機(jī)制”或“神圣的數(shù)學(xué)”（引自萊布尼茨《哲學(xué)文集》，第151頁）。世界上的一切都是按照一定的尺度和規(guī)律存在的，這些規(guī)律不僅是“幾何”的，而且是“形而上學(xué)的”（同上，第152頁）。

對(duì)于萊布尼茨來說，一個(gè)自由意志的世界，即使其中存在著殘忍和邪惡，也比一個(gè)沒有殘忍、邪惡和自由意志的世界要好，他在《神義論》（Theodicy，又名《神正論》）和許多其他著作中都提到過這點(diǎn)。這就是對(duì)上帝何以創(chuàng)造一個(gè)存在邪惡之世界的解釋。在所有可能的世界中，為什么上帝以這種方式創(chuàng)造了這個(gè)世界，而不是另一個(gè)世界？

對(duì)萊布尼茨而言，這就是一個(gè)完美的世界！也就是說，作為一個(gè)完美的數(shù)學(xué)家，上帝計(jì)算了所有可能的世界，并創(chuàng)造了其中最好的那個(gè)。要證明這是所有可能中最好的世界，一個(gè)例子是，獅子是危險(xiǎn)的動(dòng)物，但是如果沒有它們，這個(gè)世界將不那么完美。

此外，我們對(duì)這個(gè)世界的福祉的評(píng)估僅限于我們迄今為止所知曉的和經(jīng)歷過的事件。然而，上帝在選擇這個(gè)最完美的世界時(shí)，考慮了全部的時(shí)間和所有的造物（引自萊布尼茨《哲學(xué)文集》，第149-155頁）。萊布尼茨在這方面給出的另一個(gè)例子是，一個(gè)出生在監(jiān)獄里的人不能僅僅通過環(huán)顧四周就斷定整個(gè)世界都是壞的。畢竟，對(duì)于萊布尼茨來說，個(gè)體只能看到某一部分，而上帝在考慮過一切后才做決定。

不了了之

萊布尼茨那迷人的通用表意文字計(jì)劃從未付諸實(shí)施。大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）為萊布尼茨的思想辯護(hù)，認(rèn)為這一思想的數(shù)學(xué)形式是可行的，并據(jù)此提出了一個(gè)計(jì)劃。欽佩萊布尼茨的哥德爾證明了不完備定理（Deficiency Theorem），并指出像通用表意文字這樣的計(jì)劃注定要失敗，這種失敗不僅是哲學(xué)層面的，甚至也是數(shù)學(xué)層面的。

萊布尼茨那部分基于數(shù)學(xué)的形而上學(xué)和神學(xué)帶來了嚴(yán)重的問題。從某種意義上說，萊布尼茨把一切都簡(jiǎn)化成了計(jì)算。例如，他把上帝比作了解決數(shù)學(xué)問題的計(jì)算器。這看起來似乎自相矛盾，但是很明顯，這樣的上帝在沒有數(shù)學(xué)解決方案的事情上沒有發(fā)言權(quán)。萊布尼茨說，在某些地方，即使是上帝也不能做永恒的運(yùn)算。當(dāng)萊布尼茨把上帝塑造成一個(gè)數(shù)學(xué)家時(shí)，他很清楚，即使是上帝也做不到數(shù)學(xué)家能做到的事。比如說，上帝不能做無限的運(yùn)算，但他可以看到結(jié)果（就像數(shù)學(xué)家在求極限時(shí)不會(huì)逐個(gè)地?zé)o限次運(yùn)算下去，而是可以計(jì)算出那些無限運(yùn)算的結(jié)果）。此外，萊布尼茨認(rèn)為，不可能存在一個(gè)以上采取絕對(duì)數(shù)學(xué)準(zhǔn)確值的、自洽的數(shù)學(xué)體系。

從這里生發(fā)出了一個(gè)萊布尼茨并不感興趣的問題：上帝使用的是哪種數(shù)學(xué)？

從我們到目前為止所寫的來看，數(shù)學(xué)在萊布尼茨的一切思想中都占有重要的地位。在他看來，數(shù)學(xué)家必須是哲學(xué)家，正如哲學(xué)家應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)家一樣。萊布尼茨在與洛必達(dá)（L’H?pital）的通信中寫道，他的形而上學(xué)是數(shù)學(xué)的，可以用數(shù)學(xué)的形式書寫（引自《數(shù)學(xué)與神學(xué)：一項(xiàng)歷史研究》“萊布尼茨思想中的上帝與數(shù)學(xué)”一章）。不僅如此，按照萊布尼茨的看法，數(shù)學(xué)非常接近于邏輯，即創(chuàng)造新發(fā)明的藝術(shù)，而形而上學(xué)與邏輯沒有什么不同。

“我起初是個(gè)哲學(xué)家，最后卻成了神學(xué)家。”萊布尼茨說。如今，如果有人想理解萊布尼茨的哲學(xué)，他們?nèi)匀粫?huì)遇到一個(gè)主要的問題：萊布尼茨著作中數(shù)學(xué)與哲學(xué)、形而上學(xué)及神學(xué)之間的關(guān)系。

原標(biāo)題：上帝存在的本體論證明

原標(biāo)題：《萊布尼茨 ｜ 我起初是個(gè)哲學(xué)家，最后卻成了神學(xué)家》

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