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笛卡爾：締造牛頓的偉人，統一代數與幾何的“精確”數學家

2022-11-21 14:11

來源：澎湃新聞·澎湃號·湃客

本文選自《最后的數學問題》

作者：[美]馬里奧?利維奧（Mario Livio）

譯者：黃征

暢銷世界的數學哲學史經典著作，重裝上市

《華盛頓郵報》當年最佳圖書，被譯為全球8種語言

改編節目《偉大的數學問題》獲得艾美獎提名

科學和哲學巨匠們充滿智慧的傳奇故事，數學、物理、天文學和哲學的恢弘歷史畫卷

笛卡兒在數學上做出的貢獻堪為“人類有史以來在精確科學上邁出的最偉大的一步”。

——約翰·斯圖亞特·密爾

在科學領域，文藝復興見證了天文學中由哥白尼和開普勒開創，并由伽利略發展的日心說理論走向興盛。

伽利略利用望遠鏡觀察到的結果孕育了對宇宙的新見解，而他的力學實驗也展現了非凡的洞察力。與其他因素相比，這才是此后幾個世紀里，數學取得極大發展的最關鍵的動力。

當亞里士多德哲學體系發出即將崩潰的第一個信號時，在與教會神學意識形態做斗爭的過程中，哲學家們已經開始著手研究構建人類知識大廈的新地基了。數學似乎是真理確定無疑的表現形式，它為新的開端提供了最完美、最堅實的基礎。

在這樣一個偉大的歷史轉折中，有一個人試圖找出一種能指導所有理性思考的固定模式，將人類所有的知識、科學成就，乃至人類社會倫理統一為一個整體。他就是法國年輕的政府官員勒內·笛卡兒。

一個做夢的人

很多人都認為，在近代所有偉大的哲學家之中，笛卡兒可以當之無愧地排名第一，同時，他也是第一位真正意義上的生物學家。

除了這些功勛赫赫的標簽，英國經驗主義哲學家約翰·斯圖亞特·密爾（John Stuart Mill，1806—1873）甚至將笛卡兒在數學上做出的貢獻描述為“人類有史以來在精確科學上邁出的最偉大的一步”。現在，你或許能理解笛卡兒的才能和智慧為什么令后世敬仰了。

圖1 笛卡兒

笛卡兒于1596年3月31日出生于法國拉海鎮（La Haye）。為了紀念這位著名的數學家，這座小鎮在 1801 年被改名為拉海 – 笛卡兒鎮，1967 年之后，人們更習慣稱之為笛卡兒鎮。

1604年，笛卡兒在年僅8歲時被送進了拉弗萊什教會學院學習拉丁文、數學、文學、科學和經院哲學，他在那里一直學習到了1612年。

由于笛卡兒自幼體弱，不能過多地運動，因而被特許不用遵守學院嚴格的作息時間。他不必每天早晨5點起床，可以在床上度過整個早晨的時光。后來，每天利用清晨的時間進行思考的習慣伴隨了笛卡兒一生。

有一次，他對朋友、法國數學家布萊茲·帕斯卡講到，對他來說，保持身體健康并取得豐碩成果的秘訣就是每天早上睡到自然醒。然而，正如我們之后看到的，這句話竟然一語成讖，成了笛卡兒命運的一個悲劇性預言。

在離開拉弗萊什教會學院之后，笛卡兒又進入了法國普瓦提埃學院學習，并最終以律師的身份畢業。但很明顯，他從來沒有真正從事過任何法律方面的工作。

出于浮躁不安的心態和對外面世界的向往，笛卡兒決定加入奧蘭治親王莫里斯的軍隊，當時他們駐扎在荷蘭共和國（荷蘭的前身）的布雷達。

笛卡兒在布雷達服役期間，發生了一件小事，這個偶然事件成為笛卡兒思想發展過程中的一個標志，具有深遠的意義。

傳說有一天，笛卡兒在大街上閑逛，突然看到路邊立著一塊牌子，上面寫著一道數學問題，正在征集解決方法。笛卡兒請一位經過的路人把這個問題從荷蘭語翻譯為拉丁語或法語。

幾個小時之后，笛卡兒就成功地解決了這個問題，這讓他真正認識到了自己在數學方面的天賦。

而那位笛卡兒從未謀面卻為他翻譯問題的路人不是別人，正是荷蘭數學家和科學家艾薩克·比克曼（Isaac Beeckman，1588—1637），他對笛卡兒的物理數學研究的影響持續了數年之久。

在隨后的9年里，笛卡兒要么在混亂的巴黎逗留，要么在各個軍隊中服役。當時的歐洲正在“三十年戰爭”（1618 ～ 1648 年）的痛苦中掙扎，戰火四起、處處烽煙，不同宗教派別和政治派系之間紛爭不休，從布拉格、德國直至特蘭西瓦尼亞（今羅馬尼亞西北部）到處都有戰爭。

對于年輕的笛卡兒而言，想要打一仗或加入軍隊是十分容易的事。盡管如此，在這段時期，他仍然利用戰斗的間隙學習數學，正如他后來所說的：“全身心地沉溺于數學學習中。”

1619年11月10日，笛卡兒做了三個夢。這些夢不僅對笛卡兒今后的生活產生了深遠的影響，而且，或許也標志著現代文明的開端。在描述這一事件時，笛卡兒在自己的筆記中寫道：“我激動萬分，并從中發現了一門絕妙科學的基礎。”這是怎樣的三個影響深遠的夢呢？

實際上，這三個夢中的前兩個是噩夢。

在第一個夢里，笛卡兒發現自己被狂暴的旋風卷向了空中，風的巨大力量使他不由自主地以左腳為軸快速旋轉，與此同時，他隨時會從空中摔下來，這讓他感到無比恐懼。這時一位老人出現了，遞給他一個國外出產的甜瓜。

第二個夢也是一幅十分恐怖的畫面，他被抓進了一個陰森森的房間，房間里不時響起霹靂一般巨大的不祥的聲音，在他身體周圍不斷有到處飛濺的火花。

第三個夢與前兩個夢形成了鮮明的對比，呈現在笛卡兒面前的是一幅祥和靜穆的畫面，當他四處環顧時，發現房間里有一張桌子，桌子上有書時隱時現。

這些書包括一部名為《詩人集成》（Corpus Poetarum）的詩歌選集和一部百科全書。他隨手打開了那本詩歌選集翻到了其中一頁，一眼看到的正是公元 4 世紀羅馬詩人奧索尼烏斯（Ausonius）的一首詩。

詩中寫道：

“我的生命應當走什么樣的道路？”（Quod vitae sectabor iter ？）此時，一個神秘的人從空氣中閃現了出來，他引用了另一句詩：“是又不是?！保‥st et non.）笛卡兒想給他看看奧索尼烏斯的詩歌，但整本書卻消失在了虛空中。

一般情況下，夢境總是似是而非、顛三倒四的，夢的意義并不在于其具體的內容，而在于做夢的人對它的解釋。笛卡兒對這三個神秘的夢的解釋產生了令人震驚的影響。

他認為，百科全書代表了科學知識的集合，詩集則代表了哲學、啟示和熱情?！笆怯植皇恰本褪侵漠呥_哥拉斯對立，笛卡兒認為，這代表了真理和虛妄。（大家不必驚奇，一些心理學家甚至認為甜瓜暗示了性。）

笛卡兒絕對確信，這三個夢表明人類的所有知識在理性思想的幫助下可以統一為一體。

1621年，笛卡兒退役了。在隨后的 5 年里，他繼續四處游歷。在旅途中，笛卡兒也沒有放棄研究數學。在這段時間里，所有見過笛卡兒的人，包括當年具有巨大影響力的精神領袖紅衣主教皮埃爾·德·貝魯爾（Pierre de Bérulle，1575—1629）都被笛卡兒深刻的見解和清晰的思路深深打動，并為之嘆服。

很多人都鼓勵笛卡兒繼續他的研究，并將他的思想寫下來公開出版。對于一個年輕人來說，這種富于智慧的關愛和建議可能會適得其反，就像在電影《畢業生》中對達斯汀·霍夫曼所扮演的角色所說的那句忠告：“塑造自己！”（Plastics ?。?/p>

但是笛卡兒不同。他已經把自己的目標定為研究真理，因此他很容易就被說服了。最后，笛卡兒移居荷蘭，當時，那里似乎能提供一個更安靜的思考環境。在隨后的 20 年里，他寫出了一本又一本不朽的著作。

1637年，笛卡兒出版了第一本關于科學基礎思考的杰作《談談方法》，圖2展示的是這本書在首版時所使用的扉頁。這本著作還有三個值得著重關注的附錄，分別關于光學、氣象學和幾何學。

緊接著，笛卡兒在1641年出版了一本哲學方面的著作《第一哲學沉思集》，1644年又出版了一本物理學專著《哲學原理》。

在出版這幾本書以后，笛卡兒的大名傳遍整個歐洲，在他的仰慕者和有書信往來的人中，還包括已經被放逐的波希米亞公主伊麗莎白（1618—1680）。

1649年，笛卡兒被邀請訪問瑞典，教授瑞典女王克里斯蒂娜（1626—1689）哲學。出于對王室成員的尊敬，笛卡兒接受了邀請。

事實上，笛卡兒在給女王的回信中充滿了17世紀所特有的謙卑，以致在今天我們看到這封信時都感覺有點可笑：“我已經做好一切準備以執行女王陛下的任何命令。即便我出生在一個瑞典或芬蘭家庭，我對您也不可能比現在有更多的熱情，也不可能表現得更完美了?！?/p>

那位年僅23歲有著鋼鐵般意志的瑞典女王堅持要求笛卡兒在早晨5點這個極不適宜的時間給她上課。在北歐這片土地上，清晨實在太過寒冷了。笛卡兒在給朋友的信中寫到，在這里甚至連思維也被凍僵了。后來事實證明，這種寒冷對他是致命的。

他說：“我在這里不得其所，很不自在。我只想要寧靜和沉思。如果一個人自己不能獲得寧靜，即使是地球上最有權勢的國王也不能賜予他?！痹谟赂业孛鎸θ鸬溟L達數月的嚴酷寒冬和黑暗的早晨之后（對于笛卡兒來說，這樣的清晨是他一生都在努力回避的噩夢），笛卡兒最終患上了急性肺炎。

1650年2月11日，就好像試圖避開再次被叫醒一樣，笛卡兒在凌晨4點鐘去世了，享年54歲。這位開辟了現代文明的人，成了自己的諂上心態和一位年輕女王的任性的犧牲品。

圖 4-2

笛卡兒被安葬在了瑞典。1667年，他的遺?。ɑ蛘哒f，至少是他遺骸的一部分）被運回了法國。

在那里，笛卡兒的遺骸又被多次轉移，一直到1819年2月26日才最終埋葬在圣日耳曼·德佩教堂（Saint Germain des Prés）的一所附屬小禮拜堂內（圖 3）。據說，笛卡兒的一塊頭蓋骨從瑞典流出后，經過了數人之手，最后被化學家伯齊得烏斯（Berzelius）購得，并帶回了法國。

這塊頭蓋骨現存放在法國巴黎人類博物館的自然科學館中，經常呈現在穴居人頭蓋骨的對面。

圖3 作者站在笛卡兒極其簡樸的黑色紀念碑旁邊

一個現代人

如果某個人的身上貼上了“現代”這個標簽，通常意味著他能非常自如地與20 世紀（現在就是指 21世紀了）的專業人士或同行們進行交流。

笛卡兒可以被稱為“現代”人，原因是他敢于質疑自己之前所有哲學和科學中的結論。他曾經說過，他所接受的教育的唯一用處是使他感到更加困惑，以及讓他認識到了自己的無知。

在那本偉大的《談談方法》一書中，他寫道：“關于哲學，我發現，盡管它在人類最聰明的大腦中孕育了幾個世紀，但其中的所有觀點都存在爭議，并因此更加不確定。”

雖然笛卡兒本人的哲學思想同樣被后來的哲學家指出存在明顯的缺點，但是，笛卡兒這種前所未有的，甚至是對最基本概念的懷疑，確實使他顯得十分“現代”。

更重要的是，從笛卡兒現存著作中的觀點里可以看出，他認識到數學的方法和推理步驟能精確地得出某種必然結論，而這正是在他之前的經院派哲學所缺乏的。他的觀點表達得十分清楚：

“那些由簡單容易的推理所組成的長長鏈條，是幾何學家慣于用來完成最困難的證明的工具。這讓我有理由推測，所有能被人類理解的知識都能以同樣的方式彼此聯系。并且我認為，如果我們拒絕接受那些貌似是真理，但并非真理的結論，而且遵守從一個事物演繹到另一事物的正確順序，那么，沒有什么是我們最終觸及不到的，或者隱藏得太深以致我們發現不了的。”

在笛卡兒看來，不僅物理宇宙是用數學語言寫就的，而且人類的所有知識都遵循數學的邏輯。

用笛卡兒的話說：“它（數學方法）是最強有力的知識工具，比人類能動性贈予我們的其他任何工具都有效，它是萬物的根源?！?/p>

因此，笛卡兒的一個重要目標就成了如何證明物理世界，對他來說，這個現實是可以用數學語言描述的，可以不用依賴經常誤導我們的感性認識來描繪。

他提倡，人類在思維過程中應當過濾掉眼睛所能看到的，而將感知轉為思考。

笛卡兒堅持認為：“沒有任何確定的標志能夠區分已被喚醒，還是仍在沉睡?！?/p>

但是，笛卡兒也懷疑，如果我們原以為真實的所有事物其實都不過是一場夢，那么我們怎么能知道，那些真實的事物甚至是地球和天空，不是某些“有無窮力量的惡魔”為我們制造出來的某種“夢幻般的虛妄”？

或者，正如伍迪·艾倫曾經說過的：“如果一切都是幻覺，沒什么是真實存在的，那么會發生什么呢？如果是這樣，我絕對為我的地毯花了冤枉錢?！?/p>

這些疑問在笛卡兒腦海里不斷涌現，最終促使他說出了那句最著名的名言：“我思，故我在?！睋Q句話說，在思考的背后，應當存在一種意識心智。也許有點自相矛盾，懷疑這種行為本身卻不能被質疑！

笛卡兒試圖從這一看起來微不足道的開端構建一個完整、可信的知識體系。

笛卡兒廣泛涉獵了哲學、光學、數學、力學、醫學、胚胎學、形而上哲學，并在這些學科中都取得了對后世影響頗深的成就。

盡管笛卡兒堅信人類理性思考的能力，他卻不相信僅憑邏輯就能揭示真理。在這一點上，笛卡兒得出了在本質上與伽利略相同的結論：“就邏輯而言，三段論及其他大部分認識在我們已知的領域內是很有效的，但是，在探索未知領域時卻不見得同樣有效。”

而在他大膽嘗試徹底改造和重新構建所有學科的基礎的過程中，笛卡兒試圖利用自己從數學方法中提煉出的規律，確保工作建立在實際、堅實的基礎之上。笛卡兒在《探求真理的指導原則》一書中描述了這些嚴格的指導性規律。

他從那些自己確信不疑的真理（類似歐幾里得幾何學中的公理）開始；接著，試圖把那些錯綜復雜的問題分解成若干更易于處理的簡單問題；然后，從那些最基礎的現象開始研究，逐步深入到其內部復雜的本質；最后，重復檢查整個過程以確保不會有任何可能的解決方法被忽略。

不用說，即使是通過這種嚴格的步驟小心翼翼地構建，也不能保證笛卡兒的結論完全正確。事實上，盡管笛卡兒最為人稱道的是他在哲學上的巨大突破，但真正讓他獲得不朽聲望的還是他在數學上的成就。

在這里，我將簡要介紹他的一個非常簡單卻閃耀著奪目光芒的數學思想，它被密爾稱為“人類有史以來在精確科學上邁出的最偉大的一步”。

紐約市地圖上的數學問題

讓我們看看圖4所示的美國紐約市曼哈頓區的地圖——這只是整個曼哈頓區的一部分地圖。如果你站在34大街和第八大道的拐角處，而你想要找的人站在 59 大街和第五大道的交會處，你肯定會找到他，對嗎？這道題恰恰體現了笛卡兒的一種全新幾何學方法的精髓。

笛卡兒在《談談方法》的一篇 106 頁的附錄中大體勾勒了這一思想，這篇附錄被稱為《幾何》。你也許很難相信，正是這個看起來十分簡單的概念從根本上改變了數學。

笛卡兒用微不足道的事實表明，正如曼哈頓地圖所展示的那樣，用平面上的一對數就能清晰無誤地確定一個點的位置（圖5a）。

之后，笛卡兒利用這一事實發展出了一門非常有用的理論——解析幾何。為了紀念笛卡兒，這種以兩條相交直線組成的參考系被命名為“笛卡兒坐標系”。

傳統上，我們把水平線標記為“ x軸”，把垂直線標記為“y軸”，這兩條線相交的點被稱為“原點”。例如，在圖 5a 中所標記的點A ，其橫坐標值為 3，縱坐標值為 5，這樣一來，點A就可以用一對有序數 (3, 5) 表示了——注意，原點的坐標值被規定為 (0, 0)。

圖4

圖5

試想一下，如果我們想描繪出平面上距離原點5個單位的所有點，肯定會畫出一個以原點為圓心、半徑為5個單位的圓（圖5b）。

如果在這個圓周上取一個點，其坐標值為 (3, 4)，我們會發現這一坐標值恰好滿足32 +42=52。事實上，我們可以很容易地證明（利用畢達哥拉斯定理），這個圓上的所有點的坐標（x,y）都滿足X2 +Y2=52。

更進一步地說，在這個平面上，只有這個圓周上的點的坐標值能使等式X2 +Y2=52成立。這就意味著，代數等式X2 +Y2=52可以精確且唯一地表示這個圓。

換句話說，笛卡兒發現了一種能用代數等式表現幾何中曲線的方法，反之亦然。如果這種方法僅針對一個簡單的圓成立，那乍聽上去，這似乎沒什么值得激動的。

但事實上，今天我們所能見到的一切曲線圖，包括股票市場每周的波動圖、過去幾個世紀以來北極的氣溫變化圖，或者宇宙的比例圖，全部都來自笛卡兒這一天才的思想。

從此以后，代數和幾何突然之間不再是兩門獨立的數學分支了，它們表達了相同的真理。描述一條曲線的數學等式暗含了該曲線所有我們能想象得到的特性，例如所有的歐幾里得幾何定理。

這還不是全部，笛卡兒進一步提出，不同曲線可以用相同的坐標系來描述，通過找出代表這些曲線的代數表達式構成的方程組的一般解，進而簡單地找到這些曲線的交點。

通過這種方法，笛卡兒充分利用代數學自身的優勢糾正了傳統幾何學中那些令他極為厭煩的缺點。

例如，歐幾里得將幾何中的點定義為不可再分的、沒有大小的獨立存在體，而笛卡兒使用一對簡潔有序的數就能定義平面上的點。在此之后，歐幾里得那種模糊的定義方法就永遠地過時了。

不過，這種蘊含深刻見解的全新定義方式只是笛卡兒解析幾何思想的冰山一角。

笛卡兒還指出，如果坐標點（x,y）中的X和Y這兩個數有某種關系，也就是說，X的每一個值都對應著唯一的Y值，那么此時，X和Y就構成了一種函數關系。函數的確無處不在，你在減肥時每天測到的體重值、孩子在每個生日那天測量的身高值，或者汽車在行駛途中車速與油表里程的關系，所有這些數據都能用函數來表示。

函數是現代科學家、統計學家、經濟學家真正的“面包和黃油”，須臾不可或缺。

如果多次重復的科學實驗或觀察最終得出了相同的函數關系，它們就可能被提升到自然規律的地位——這里所謂的規律是指所有自然現象都要遵循的、可用數學描述的行為方式。

例如，牛頓發現了萬有引力定律（我會在本章稍后部分詳細地討論）。萬有引力定律指出如果兩個點上物體之間的距離擴大兩倍，那么它們之間的引力效應通常會降低為原來的四分之一。

笛卡兒的思想為用數學系統性地處理幾乎所有事物推開了一扇門——“上帝是一位數學家”這一理念的核心意思也不過如此。

從純數學的角度看，幾何和代數這兩門數學分支在過去被認為是毫無關聯的，但笛卡兒證明了，如果從更高角度分析的話，兩者是完全等價的。

通過建立二者之間的等價關系，笛卡兒拓展了數學的研究范圍，為進入分析領域鋪平了道路，讓數學家能輕易地在數學各分支學科之間進行交叉研究。如此一來，不僅各種不同的自然現象都能用數學描述，甚至數學本身也變得更廣闊、更豐富、更統一了。

正如偉大的數學家約瑟夫 – 路易·拉格朗日（Joseph - Louis Lagrange，1736— 1813）指出的：“當幾何和代數沿著各自的道路獨立前進時，它們的進展緩慢，并且應用范圍也有很多限制。但是，當這兩門科學結合起來以后，它們相互從對方那里汲取了新鮮的活力，相輔相成，并加快步伐邁向了完美。”

笛卡兒用下面這段文字作為《幾何》這本著作的結尾：“我希望后世子孫能友善地評價我，不僅針對我所解釋的那些事，而且針對我有意遺漏的那些內容，這樣一來，其他人才能同樣享有發現的樂趣?！保▓D6）