“問題是，我們到底是生活在哪個（數(shù)論）宇宙里？”

一個有零點，一個無零點。

在美籍華裔數(shù)學家、加州大學圣塔芭芭拉分校教授張益唐公開其關(guān)于朗道-西格爾零點猜想（the Landau-Siegel zeros conjecture）的最新研究論文前，這一零點將數(shù)論分成了上述兩個宇宙。

張益唐教授11月8日上午面向北京大學師生和社會公眾關(guān)于朗道-西格爾零點猜想的演講

因為不知道這一零點到底存在不存在，數(shù)論學家們只好去討論兩種情況：如果這一零點存在，會得出什么結(jié)論？如果它不存在，會得出什么結(jié)論？

在三天前面向山東大學師生的演講和11月8日上午面向北京大學師生和社會公眾的演講中，張益唐教授都多次提及其最新論文中證明朗道-西格爾零點猜想的創(chuàng)新思想或“New idea”（新方法）。

他同時表示，其論文還需要修改補充，更關(guān)鍵的是，要簡化。新研究成果會對代數(shù)數(shù)論中的二次域的類數(shù)問題給出一個非常強的結(jié)果。

張益唐教授還在演講中再次提及“大海撈針”。他說，與自己2013年發(fā)表的關(guān)于孿生素數(shù)猜想的研究突破相比，證明朗道-西格爾猜想才是真正的大海撈針。

11月8日上午，對于張益唐在演講中提到的證明朗道-西格爾零點猜想的“New idea”（新方法），全程聆聽該講座的北京大學數(shù)學科學學院一位博士后向澎湃新聞（www.kxwhcb.com）解釋稱，最簡略地來講，他是把計算中的z(n）序列，替換成了a(n)、b(n) 、c(n) 、d(n)序列，然后用柯西不等式推出矛盾，證明了在特定范圍內(nèi)不存在朗道-西格爾零點。

這位博士后進一步解釋說，具體來說，張益唐教授在演講中舉了個例子，對于實連續(xù)函數(shù)來說，兩個連續(xù)的零點之間函數(shù)取值是同號的，這樣要證明零點在某個局部存在就等價于證明兩個局部端點的函數(shù)值乘積非正，如果構(gòu)造一個序列x(n)刻畫出零點正負性的特征，那么證明x(n)中某一項為負就說明零點存在。同樣的考慮實本原特征的狄利克雷L函數(shù)（當特征是平凡時，即黎曼ζ函數(shù)），它的零點存在，也需要證明對于某個序列x(n)，其中一項為負。傳統(tǒng)的方法是，取一組實的z(n)，考慮x(n)(z(n))^2的求和，如果為負，那么x(n)必存在一項為負。但傳統(tǒng)的方法無法從一個無窮小量ε（epsilon）突破到0。張益唐教授的方法是，用a(n)、b(n)、c(n)、d(n)做兩組求和，同時逼近；再使用柯西不等式，推出其中大小關(guān)系。這個工作的價值在于，將L(1,χ)的下界從無實效（not effective）的D的負ε次方，改進成實效（effective）的log D的負常數(shù)次方。

在演講后的提問環(huán)節(jié)，有人問說，您所介紹的這種new idea，是看著“初等”，實際上是從非常深的工作中才提煉出來的，還是說是在大海撈針之后，直接用了一個初等的 idea去指導工作？

張益唐在回答這個問題時表示，“我的論文當然還要做很多修改和補充。可能更關(guān)鍵的是，要簡化。否則的話，確實（令人）比較頭疼。”

11月6日，菲爾茲獎得主詹姆斯·梅納德（JamesMaynard）攻讀博士學位時的導師、致力于解析數(shù)論領(lǐng)域的英國數(shù)學家、牛津大學數(shù)學研究所退休教授羅杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown FRS）向澎湃新聞表示，“好好研讀（張益唐的）這篇論文需要很長時間，所以我現(xiàn)在還不能說它是否正確。但它寫得很清楚，而且策略明智。”

張益唐在演講中說，“有的時候你說你用到了一些高深的東西，實際上從范圍來講，也沒有超出復變函數(shù)的范圍，但它有它的特殊處理方法。有些東西被弄得非常細膩，非常精致，所以它是一整套（方法）。就像我這個論文里，其實也有很多（這樣的特殊處理方法）。最后有些東西我可能以后還得把細節(jié)補出來。有一些算術(shù)、有一些特殊的一些‘和’，我能夠知道它的結(jié)果（的），基本上我也就給出聲明了。但很多細節(jié)，現(xiàn)在說起來，寫這些東西，對我來講，還是很頭疼了。”

張益唐表示，“這里嚴格講起來，每一步都應該說都是初等的，但真正z(n)的選擇，而且最后你要能夠算出那個和，那就需要用到很多解析的工具。”

他還以菲爾茲獎得主塞爾伯格的研究為例稱，“有時候初等比解析的東西更難，更有挑戰(zhàn)性。”

還有人問起，關(guān)于朗道-西格爾猜想的研究突破在數(shù)論或算數(shù)幾何中會有哪些應用？

張益唐回答，在數(shù)論里，它至少解決了一個目前為止還懸而未決的問題——“素數(shù)在等差級數(shù)中的分布”。“（如果）可能存在朗道-西格爾零點的話，那么在某些等差級數(shù)里，素數(shù)會特別多；在某些里頭，素數(shù)會很少。我這個結(jié)果出來以后，至少把這個問題解決了。”

張益唐說，“在應用里頭，因為是牽扯到解析數(shù)論，什么地方都得用到這個（結(jié)果）。”“還有一個，是代數(shù)數(shù)論里二次域的類數(shù)問題，這會給出一個非常強的一個結(jié)果。”

張益唐在網(wǎng)站arXiv上公開的三篇預印本論文

張益唐于2013年4月17日在《數(shù)學年刊》（Annals of Mathematics）發(fā)表《素數(shù)間的有界間隔》，首次證明了存在無窮多對素數(shù)對（p, q），其中每一對素數(shù)之差，即p和q的距離，不超過7000萬。這為世紀難題“孿生素數(shù)猜想”的解決做出了突破性工作，他從一位默默無聞的大學講師躋身世界重量級數(shù)學家的行列。隨后，“7000萬”這一數(shù)字，被數(shù)學界同行改進到600和246。

2007年5月29日，張益唐就曾在預印本網(wǎng)站arXiv提交了一篇標題為《論郎道-西格爾零點猜想》（On the Landau-Siegel Zeros Conjecture）的論文。該論文一共54頁，正文13小節(jié)。該論文稱，“我們提供了朗道-西格爾零點猜想的一個變體的證明。” 

15年后，張益唐再次發(fā)布關(guān)于朗道-西格爾零點猜想的論文。在內(nèi)部流出兩天后，2022年11月7日，其最新論文在預印本網(wǎng)站arXiv上正式對外公開。論文的標題是《離散均值估計和朗道-西格爾零點》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel Zero）。全文111頁，正文18個小節(jié)。

11月6日上午11:05，山東大學微信公眾號發(fā)布了山東大學數(shù)學學院教授、博士生導師、原數(shù)學學院副院長、山東大學澳國立聯(lián)合理學院執(zhí)行院長呂廣世、山東大學數(shù)據(jù)科學研究院教授、博士生導師黃炳榮等人聯(lián)合撰寫的文章。

該文章稱，張益唐教授介紹了他在朗道-西格爾零點猜想研究方面的創(chuàng)新思想，在其最新預印本論文里證明了：模D的實原特征L-函數(shù)在區(qū)間（1?c(log D)^?2024,1】內(nèi)沒有實零點。

“如果把這里的2024換成1，就得到原始形式的朗道-西格爾零點猜想。2024雖然大于1，但在數(shù)學意義上，與1并沒有實質(zhì)性的差別。”山東大學微信公眾號上述文章稱。

20多天前，在美東時間10月14日下午8時（北京時間10月15日上午8時）舉行的北京大學大紐約地區(qū)校友會的活動中，張益唐提前宣布了已解決朗道-西格爾零點猜想問題的消息。他說，要解決這一問題，最后歸結(jié)到要做一個不等式；就是要構(gòu)造一組數(shù)。“有人說孿生素數(shù)猜想是大海撈針，其實朗道-西格爾零點才是大海撈針。這些年來我試了無數(shù)種（情況），試數(shù)給代進去， 我建立了一整套公式，所以能去算。我試了無數(shù)種情況，每一次都差一個 ε（音：伊普西龍）。”

他說，他把“海底”查遍了，最后發(fā)現(xiàn)，不要這根針也能解決這一零點猜想問題。“我敢肯定地說，我做出來了。我知道我這么做是對的。”

在11月8日上午的演講中，張益唐表示，在本質(zhì)上，他已經(jīng)證明了朗道-西格爾零點猜想。只是像他此前關(guān)于孿生素數(shù)猜想的研究結(jié)果一樣，其結(jié)果可以被改進。這一最新研究突破將有很多應用，帶來很多定理。

換句話說，張益唐的最新論文表明，在特定范圍內(nèi)，朗道-西格爾零點不存在。在這一情況下，朗道-西格爾零點猜想正確或成立。

“朗道-西格爾零點”被定義為廣義黎曼猜想的反例。斷言“朗道-西格爾零點”不存在的猜測，被稱為朗道-西格爾零點猜想。

張益唐在演講中同時表示，目前他把朗道-西格爾零點猜想的證明相關(guān)指數(shù)做到了2024，“比較慶幸。”這一結(jié)果可以被改進，但指數(shù)2024可以被改進到什么程度？“我想至少可以弄到幾百吧。但弄到1？我的辦法還是不夠。”

張益唐教授的這一最新成果引起了數(shù)學界和社會公眾的極大關(guān)注。這會不會成為其數(shù)學研究中的又一重要突破？有待數(shù)學界專家們的確認。