原創(chuàng) 特斯拉的信徒 果殼

有這個(gè)必要嗎？

如果你期待這里有哥德巴赫猜想的完整證明，我只能說(shuō)哥們兒你失望了。我說(shuō)的 1 和 2 可都是純粹的自然數(shù)。

你開(kāi)始不屑一顧了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是顯然的嗎？可是你是否考慮過(guò)，以前學(xué)幾何的時(shí)候，我們總是從一些公理開(kāi)始，逐漸推出需要的結(jié)論。然而，代數(shù)的學(xué)習(xí)卻不是這樣。

我們有的是加法表和乘法表，而這些表早已成為計(jì)算的直覺(jué)刻在腦子里。一個(gè)靠直覺(jué)構(gòu)建起來(lái)的體系似乎不太讓人覺(jué)得可信。如果連 1 + 1 = 2 這樣簡(jiǎn)單的算式都無(wú)法證明，那么所有經(jīng)由此類(lèi)運(yùn)算得到的結(jié)果都是不可信的，至少是不科學(xué)的。看來(lái)，我們需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的東西。

圖源：圖蟲(chóng)創(chuàng)意

什么是 1，什么是 2？

在證明之前，首先我們要明白什么是自然數(shù)，什么是加法。類(lèi)似于幾何的公理化理論體系，我們需要提出幾個(gè)公理，然后據(jù)此定義自然數(shù)，進(jìn)而定義加法。

先來(lái)定義自然數(shù)。根據(jù)自然數(shù)的意義（也就是人類(lèi)平時(shí)數(shù)數(shù)時(shí)對(duì)自然數(shù)的運(yùn)用方法），它應(yīng)該是從一個(gè)數(shù)開(kāi)始，一直往上數(shù)，而且想數(shù)幾個(gè)就可以數(shù)幾個(gè)（也就是自然數(shù)有無(wú)限個(gè)）。據(jù)此我們得到以下公理：

公理 1. 0 是一個(gè)自然數(shù)。

公理 2. 如果 n 是自然數(shù)，則 S(n) 也是自然數(shù)。

在這里， S(n) 就代表 n 的“后繼”，也就是 n 往上再數(shù)一個(gè)。沒(méi)錯(cuò)，我們平時(shí)所說(shuō)的 0, 1, 2, 3, ??，無(wú)非就是表示上述這種叫做“自然數(shù)”的數(shù)學(xué)對(duì)象的符號(hào)而已。我們用符號(hào)“0”來(lái)表示最初的那個(gè)自然數(shù)，用“1”來(lái)表示 0 的后繼 S(0)，而 1 的后繼 S(1) 則用符號(hào)“2”來(lái)表示，等等。

可是僅有這兩個(gè)公理還不夠完整地描述自然數(shù)，因?yàn)闈M(mǎn)足這兩條的有可能不是自然數(shù)系統(tǒng)。比如考慮由 0, 1, 2, 3 構(gòu)成的數(shù)字系統(tǒng)，其中 S(3) = 0（即 3 的后一個(gè)數(shù)變回 0）。這不符合我們對(duì)于自然數(shù)系統(tǒng)的期望，因?yàn)樗话邢迋€(gè)數(shù)。因此，我們要對(duì)自然數(shù)結(jié)構(gòu)再做一下限制：

公理 3. 0 不是任何一個(gè)數(shù)的后繼。

但這里面的漏洞防不勝防，此時(shí)仍不能排除如下的反例：數(shù)字系統(tǒng) 0, 1, 2, 3，其中 S(3) = 3。看來(lái)，我們?cè)O(shè)置的公理還不夠嚴(yán)密。我們還得再加一條：

公理 4. 若 n 與 m 均為自然數(shù)且 n ≠ m，則 S(n) ≠ S(m)。也就是說(shuō)，互不相同的兩個(gè)自然數(shù)，它們各自的后繼也是兩個(gè)不同的數(shù)。這樣一來(lái)，上面說(shuō)到的反例就可以排除了，因?yàn)?3 不可能既是 2 的后繼，也是 3 的后繼。

最后，為了排除一些自然數(shù)中不應(yīng)存在的數(shù)（如 0.5），同時(shí)也為了滿(mǎn)足一會(huì)兒制定運(yùn)算規(guī)則的需要，我們加上最后一條公理。

公理 5. （數(shù)學(xué)歸納法）設(shè) P(n) 為關(guān)于自然數(shù) n 的一個(gè)性質(zhì)。如果 P(0) 正確，且假設(shè) P(n) 正確，則 P(S(n)) 亦真實(shí)。那么 P(n) 對(duì)一切自然數(shù) n 都正確。

有了這以上的努力，我們就可以這樣定義自然數(shù)系了：存在一個(gè)自然數(shù)系 N，稱(chēng)其元素為自然數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)這些元素滿(mǎn)足公理 1 - 5。

什么是加法？

我們定義，加法是滿(mǎn)足以下兩種規(guī)則的運(yùn)算：

1. 對(duì)于任意自然數(shù) m，0 + m = m；

2. 對(duì)于任意自然數(shù) m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。

有了這兩條僅依賴(lài)于“后繼”關(guān)系的加法定義，任意兩個(gè)自然數(shù)相加的結(jié)果都能確定出來(lái)了。

如何證明1+1=2 ？

至此，我們可以證明 1 + 1 = 2 了：

1 + 1

= S(0) + 1 （根據(jù)自然數(shù)的公理）

= S(0 + 1) （根據(jù)加法定義 2）

= S(1) （根據(jù)加法定義 1）

= 2 （根據(jù)自然數(shù)的公理）

事實(shí)上，根據(jù)加法的定義，我們不但可以證明每一個(gè)加法等式，還可以進(jìn)一步證明自然數(shù)的加法結(jié)合律和交換率等一般規(guī)律。類(lèi)似于加法的定義，還可以定義自然數(shù)的乘法并據(jù)此證明乘法的結(jié)合律、交換率和分配率等。如果大家對(duì)這方面問(wèn)題感興趣的話(huà)，可以看看參考文獻(xiàn)[1].

看到這里，不知道你會(huì)不會(huì)有一種如釋重負(fù)的感覺(jué)。原來(lái)，我們所知道的關(guān)于數(shù)學(xué)的一切，關(guān)于人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界的一切，都不是建立在直覺(jué)之上，而是在接受幾個(gè)公理的條件下通過(guò)理性的方法推導(dǎo)出來(lái)的。同時(shí)或許你還會(huì)有一種自由的感覺(jué)：正如你可以不接受歐幾里得的公理而構(gòu)造自己的幾何體系一樣，你也可以不接受上面的幾個(gè)公理而建立自己的一套關(guān)于數(shù)的體系。你可以建立無(wú)數(shù)種奇奇怪怪的體系。不過(guò)如果是為了解釋自然的話(huà)，至少?gòu)哪壳暗慕嵌瓤矗F(xiàn)有的這套還是更好一些。

一些歷史背景

上面所說(shuō)的公理 1 - 5 便是著名的皮亞諾公理，它是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在 1889 年發(fā)表的。雖然描述這套公理體系的數(shù)學(xué)語(yǔ)言發(fā)生過(guò)不少變化，但這套體系本身一直延用至今。

根據(jù)這個(gè)建立在公理基礎(chǔ)之上的自然數(shù)體系，通過(guò)引入減法可以得到整數(shù)系，再引入除法得到有理數(shù)體系。隨后，通過(guò)計(jì)算有理數(shù)序列的極限（由數(shù)學(xué)家康托提出）或者對(duì)有理數(shù)系進(jìn)行分割（由戴德金提出）得到實(shí)數(shù)系 [2]。這一套公理化實(shí)數(shù)體系連同同時(shí)期魏爾斯特拉斯在微積分分析化過(guò)程中的貢獻(xiàn)（例如極限定義中的 ε-δ 語(yǔ)言）一道，使得早已被人類(lèi)應(yīng)用兩百多年的微積分學(xué)能建立在一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上 [3]。

參考文獻(xiàn)

[1] Analysis [M]. Terence Tao

[2] 數(shù)學(xué)史概論（第二版）[M]. 李文林

[3] A History of Mathematics, an Introduction (Second Edition) [M]. Victor J. Katz

作者：特斯拉的信徒

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