邏輯有著獨特的魅力，它簡潔嚴謹又多有巧思。它不僅幫助哲學以清晰和精確的方式處理問題，也對不少數學理論的研究有所貢獻，更不必說遞歸論之于計算機，語言哲學之于語言學。邏輯學作為一門交叉學科，以一種和諧優美的方式站在了哲學，數學，語言學，計算機這些完全不同的領域的交匯處對它們產生了不可磨滅的影響。

那么作為國內研究邏輯的一個中心，在復旦大學邏輯組就讀研究生的同學們在這里又有什么樣的體驗呢？復旦邏輯公眾號將推出新的系列：我在復旦學邏輯的日子。本篇為此系列的第一篇，由兩位主攻模型論方向的同學講述他們在復旦與邏輯相伴的日子。

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Part.1

王颯 2020級研究生

我高中的時候參加信息學競賽，取得一點成績，獲得了復旦大學的自主招生優惠，也自然成為了計算機專業的學生。經過本科前一年半的學習，我發現相比實踐，我對數學那樣嚴謹的理論更感興趣。當時我最感興趣的課程是數學分析、線性代數、離散數學這樣的數學課。而算法競賽中，相對于通過一道題，我更在意算法的復雜度和正確性證明。因此大二下學期的時候我打算轉入數學學院，但是因為競賽自招的身份而失去資格。也是在大二下學期，復旦大學數理邏輯學程項目啟動，我看介紹感覺挺有意思，便報名了。

大三上學期，學程正式開課。那個學期我上了郝兆寬老師的《數理邏輯》，從此打開了新世界的大門。那門課程的內容很經典、豐富，基本完全覆蓋復旦大學出版社數理邏輯教材。數理邏輯不僅完美符合我心目中“嚴謹的理論”，而且研究的內容很有趣，蘊含深刻的思想。第二個學期我又上了楊睿之老師的《可計算性理論》，這門課的內容主要是一些圖靈度結構的結論。或許是由于對算法的熟悉（雖然這里的算法和計算機中有一定復雜度保證的算法有很大差別），我這門課學得不錯，對一些困難的習題能提出新方法。

對角線方法討論（左：王颯，右：楊躍老師）

我想既然我對數理邏輯感興趣，而且它又似乎挺適合我，便毫不猶豫地選擇繼續攻讀這個領域。在選擇學校方面，我也直接鎖定本校。學程的兩節課上下來，老師們講課水平很高，對學生也很好。復旦數理邏輯處于蓬勃發展中，每年都會舉辦暑期學校，資源豐富。而我屬于“半路出家”，數理基礎比較薄弱，這里對我來說很熟悉，在這里開始希望能打下比較堅實的基礎。

復旦邏輯專業有五位老師，除了陳偉老師是做非形式邏輯、法律邏輯，其余四位都是數理邏輯方向。除了前面提到的郝兆寬老師和楊睿之老師之外，還有姚寧遠老師和Will Johnson老師，后兩位都做模型論。我本科的時候對模型論幾乎沒有了解，但對該領域也很有興趣。因為模型論是個比較活躍的領域，和一般數學關系更緊密，而復旦模型論師資也比較強大，我便選擇了模型論作為研究方向，姚寧遠老師是我的導師。

復旦數理邏輯暑期學校老師們與同學們的合照

對于之前非哲學專業的同學可能會有顧慮，來了哲學系但是不懂哲學怎么辦，是不是要修哲學課。復旦哲學學院確實對跨專業學生有補修要求，學位基礎課可能也被迫要選其他哲學課。但經郝老師與學院的溝通，數理邏輯方向的研究生有了一些替代方案，解決了我的困難。

在課程和教學方面，模型論課程一直是Johnson老師在上，第一學期是基礎內容，第二學期是穩定性理論相關的選題。集合論兩學期課程第一學期也是基礎內容（可能以討論班的形式），第二學期是進階內容，一般是哥德爾的L和力迫。楊睿之老師講的話可能講大基數理論。可計算性理論則通常選擇一個前沿方向開展討論班（如果基礎不牢可以旁聽楊老師本科生的《可計算性理論》）。一階邏輯覆蓋復旦出版社數理邏輯教材。模態邏輯一般也是討論班，講比較前沿的內容（同樣有對應的本科基礎課）。對于傳統形式課程，我還是很適應的。Johnson老師的講義和講課都非常清晰嚴謹，讓我的模型論基礎比較牢靠。基礎課討論班課程因為之前我已有基礎，所以也沒什么問題。前沿討論班課程因為難度比較大，報告人仔細準備也可能出現問題，這時課堂被迫卡住，會出現效率偏低的情況。

Will Johnson老師教授模型論

拋開教學，主要就是自己的研究方向和課題。邏輯專業是聯合培養，所以有問題可以找任何一位老師，如果感覺研究方向不合適甚至可以換到另一個老師下。如果對某個領域感興趣，就算老師們不了解，也可以開討論班，并獲得資金等支持。因為數理邏輯學程的推動，現在復旦數院的同學也和邏輯走得更近了，所以你總能找到志同道合的同學。總體來說，這里的學習氛圍非常自由，所以只要你想學，你就不需要擔心別的問題。但也正是因為這種自由，同學們需要有充足的動力、行動力和自制力。因為老師們不太給壓力，你需要主動和老師交流，而不能總是被動等老師來找你。我在這方面做得還很不夠，就不多說了。

另外，復旦邏輯可能在國內算是數理邏輯的一個中心之一，每年都會有很多講座和報告，每年夏天都會舉辦復旦大學暑期學校。同學們也有機會去國內其他學校參加會議，去新國大上數理邏輯暑期學校等等。總之，學術資源是很豐富的，要去學會利用它。

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Part.2

凌晨 2020級研究生

研一入學時，我選修了數理邏輯、集合論，旁聽了模型論。研一下學期時又選修遞歸論。其他邏輯學方向的話，復旦也有數學哲學、模態邏輯、邏輯史等介紹課程。進階課程的設置比較靈活，對某方面感興趣的話，可以找自己導師開有關方向的進階課或辦討論班。每年的邏輯學暑期學校也會邀請業界大佬做系列講座。

武丁教授在復旦開展講座

我在研二時選擇模型論作為研究方向。研一時跟了一年模型論的課程，學了vc-dimension的一些概念。這學期也選了進階課，講了穩定性層譜、Morley rank、CB-rank等等。模型論學起來沒有什么特別難的概念，與集合論、遞歸論相比，這可能是更“講人話”的一個方向。但概念又多又雜，相互的關聯性不強。往好了說，即便學習某塊內容時狀態不好，也不怎么影響的以后學習。但一學期課聽下來，自己很難理出一條清晰的脈絡。即使是廣受好評的模型論教材，編寫順序也往往是一個topic接一個topic。讀者在學習對應topic的定義、概念后卻看不懂例子，無法培養相應的直觀。在這樣的學習中，一個優秀的老師十分重要。在入門階段，需要一個老師幫著把書讀薄，告訴學生哪些地方很重要、可以用哪些簡單的例子輔助理解。

Will Johnson老師講義上Morley rank的定義

研二下學期時，姚老師原計劃開穩定性理論討論班。后來中期答辯臨近，改讓我和王颯輪流讀論文做閱讀報告。與自己看書相比，定期做閱讀報告，既能以相對穩定的速度推進，又能及時發現問題。雖然大部分時間都花在了敲字做講義上，但不被逼著講的話，說不定也不會花時間看論文了。雖說論文的大部分內容，只要仔細看都能看懂。但若缺少相關背景，就很難從中挖出更深的東西。我們希望讀一個定理，follow它的證明，直觀上把握、理解它。但事與愿違，名詞的定義套定義，一個小引理的證明也許只是單純地把定義層層剝開，但讀完證明最后一行時便已經忘了證明的起點了。最后，只能說，這個定理的證明看上去沒錯，但我也不知道它能帶來什么。隨著定義、定理增多，理解中的錯誤會隨之累積疊加，以致到某個地方就完全看不懂了。

如果學過一些模型論，我們會知道“stable”的結構是一類“好結構”，它可以是“沒有序性質”、“型空間小”等等。“NIP”的模型不能表達有“獨立性質”的公式，它的型空間也比較小，也對應了一類“好結構”，“o-minimal”也對應一類好結構。但是在這么粗淺的直觀下，隨著定理增多，就會弄不清定理成立的條件。一篇論文看完，或許能夠贊同作者的結論：是的，通過A方法確實能證明，B性質在stable時成立、一般的o-minimal情況下不成立。回顧A方法，好像用到了很多引理，這些引理仿佛都和stable、o-minimal毫無關系。最終沒能發現究竟是什么性質，使得stable結構成立的東西無法推廣到o-minimal結構。

姚寧遠老師正在介紹講座

吃透這些概念，可能只有反復讀、反復討論。我們也無法精確地描述自己問題出在哪，只好在做具體問題時邊做邊想。復旦提供了一個優秀的環境：問老師論文中省略的定義、證明；聽同學講論文、講論文給其他同學聽、交流各自對問題的理解等等。如果運氣不算太差又確實喜歡搞這些東西并且足夠聰明，應該能在復旦度過愉快的三年邏輯研究生生活吧。

原標題：《我在復旦學邏輯（一）》

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