2月12日，朝鮮進行北極星二型導彈試射，其飛行距離為500公里，飛行最大的高度為500公里，使用了抬高彈道。我們可以根據這些數據，用簡單的辦法估算北極星二型的發動機關機速度，也可稱其為彈頭再入大氣層的速度。有了這個速度，還可估算北極星二型導彈的射程。一般我們不加說明地提到導彈射程的時候，往往就是指最大射程。

朝鮮去年六月份密集地進行了多次舞水端導彈飛行試驗，其中一次試射據報道是成功的，而且導彈走的也是抬高彈道。當時，導彈的飛行距離僅僅為400公里，飛行最大高度居然達到了1400公里。與這次北極星二型導彈試射相比，去年六月的這次舞水端試射的彈道實在是太陡了，差不多就是直上直下。我們也可用初等方法估算一下舞水端導彈的發動機關機速度，也是其彈頭再入大氣層的速度；有了這個速度我們還可以了解舞水端的射程。

這次導彈試射中，舞水端導彈水平方向的飛行距離僅為400公里，但是，在豎直方向居然飛行了1400公里，這還是克服了重力之后的飛行距離?？梢韵胂?，在發動機關機點，導彈向上的速度遠遠大于水平方向的速度。因此，我們可以忽略水平方向的速度，把這次導彈試射看作一個上拋運動。

做了這些簡化之后，問題很簡單了：一個物體豎直上拋之后，達到最大高度1400公里，問上拋速度為多少？

上拋速度的公式是：初始速度的平方等于重力加速度乘以最大高度的二倍【v2=2gh】。把重力加速度10米每秒的平方，高度1400000米代入公式，可以算出初始速度為5300米/秒。

有初中物理的基礎就有足夠的知識解答這個問題；難點在于如何簡化問題，找到思路。有了思路之后，計算這個題目的過程簡直易如反掌。

上述解答方法有些粗疏，答案有些誤差，原因在于1400公里的高度太高了。相對于地球的半徑6400公里，1400公里不算太小。在這個高度的重力加速度會有明顯下降，而我們在前面的公式中用的重力加速度是一個固定值。這可能帶來一些計算誤差，因此，在計算中我們需要考慮重力加速度的變化來減少誤差。

前面的上拋運動所用的公式其實是一個能量守恒的公式：上拋物體在起始點的動能轉化為最高點的勢能【?m v2=mgh】。這個公式中兩邊都有物體的質量，因此可以約分掉。我們可以把這個公式修改一下，使得它能描述變化的重力加速度，為此，我們需要一個一般性的重力場勢能公式。

在地表以上，重力場勢能為：重力場常數乘以物體的質量、乘以地球質量、除以該物體距離地心的距離、再取負號【P=-GmM/r】。在上拋開始的時候，物體在地表附近，其勢能公式中距離地心的距離就是地球的半徑6400公里；當物體高度達到1400公里的時候，它距離地心的距離是7800公里（6400+1400）。這樣我們可以寫出一個上拋的動能轉變為勢能的公式：物體在地表附近的動能加上物體在地表附近的勢能，等于物體在1400公里高的勢能【-GmM/R+?m v2=- GmM/(R+h)】。

同樣的，公式兩邊都有物體的質量，可以約分掉。這樣仍可以用初等方法求出上拋物體的初始速度為：4800米/秒。

用這個速度來推算舞水端的射程，初等的數學方法已經不夠用了。因為這個時候導彈的射程已經能夠與地球的半徑相比較，地球的曲率不能忽略。這時的導彈軌道是橢圓的一部分，而不是一段拋物線。4800米/秒的關機點速度對應的導彈射程大約是3000公里。

看了這個計算，我們發現，朝鮮從去年夏天開始就嘗試高彈道的導彈試射。這應該是朝鮮系列性的活動，而不是一時的心血來潮。我們還發現，只要我們有一些科學常識，哪怕只是初中的科學基礎，我們也能夠了解那些看上去很神秘、很保密的東西。